Em cada caso, encontre uma parametrização para C e para a reta tangente a C no ponto P :
C=(x, y, z) in R^3 mid x=z e x^2+y^2=z e P=(12, 12, 12).

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da curva
C = l(x,y,z)inR^3 mid x = z e x^2 + y^2 = zr
e a parametrização da reta tangente a C no ponto
P = l(tfrac12,tfrac12,tfrac12r)
O conteúdo envolve interseção de superfícies em R^3, redução a uma curva plana e cálculo de tangente via derivada da parametrização.

Passo 2

Como x = z, substituímos z por x na segunda equação x^2+y^2 = z. Isso dá
x^2 + y^2 = x,
que é a equação de um círculo no plano z = x. Reescrevendo
x^2 - x + y^2 = 0 Long<=ftrightarrow l(x-tfrac12r)^2 + y^2 = l(tfrac12r)^2
Portanto C é esse círculo de centro l(tfrac12,0r) e raio tfrac12, inserido no plano z=x.

Passo 3

Parametrizamos o círculo clássico por
r(t) = l(x(t),,y(t),,z(t)r) = l(tfrac12 + tfrac12cos t,;tfrac12sin t,;tfrac12 + tfrac12cos tr), tin[0,2pi]
Note que z(t)=x(t) satisfaz x=z e l(x(t)-tfrac12r)^2 + y(t)^2=(tfrac12)^2.
Para encontrar o valor t0 em que r(t0)=P, impomos
x(t0)=tfrac12+tfrac12cos t0 = tfrac12 Longrightarrow cos t0 = 0 ;Longrightarrow; t0 = tfracpi2
E em t=tfracpi2 temos também y(tfracpi2)=tfrac12.

Passo 4

Calculamos a derivada
r'(t) = l(-tfrac12sin t,;tfrac12cos t,;-,tfrac12sin tr)
Em t0=tfracpi2 isso fica
r'l(tfracpi2r) = l(-tfrac12,;0,;-tfrac12r)
Esse vetor é tangente a C em P.

Passo 5

A reta tangente em P pode ser escrita como
boldsymbolell(s) = P + s,r'l(tfracpi2r) = l(tfrac12,tfrac12,tfrac12r) + sl(-tfrac12,0,-tfrac12r), sinR
Em forma componente:
ell(s) = l(tfrac12 - tfrac s2,;tfrac12,;tfrac12 - tfrac s2r)

Resposta

Parametrização de C:
r(t) = l(tfrac12 + tfrac12cos t,;tfrac12sin t,;tfrac12 + tfrac12cos tr), tin[0,2pi]
Parametrização da reta tangente em P:
boldsymbolell(s) = l(tfrac12,tfrac12,tfrac12r) + sl(-tfrac12,0,-tfrac12r), sinR

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