Exercício 5. Calcule a integral integral triplaE(x z-y^3) d V, onde
E=(x, y, z) mid-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1
utilizando três ordens diferentes de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaE(x z - y^3),dV
no paralelepípedo
E=(x,y,z)mid -1<= x<=1,;0<= y<=2,;0<= z<=1,
usando três ordens de integração diferentes. O que vamos usar é o Teorema de Fubini para domínios retangulares e, quando possível, explorar a separação de integrais ou a simetria (paridade) para simplificar os cálculos.

Passo 2

Ordem de integração dx,dy,dz. Começamos escrevendo
integral triplaE(x z - y^3),dV =integralz=0^1integraly=0^2integralx=-1^1(x z - y^3),dx,dy,dz
No integral interno em x:
integralx=-1^1(x z - y^3),dx =[z,x^22-y^3x]-1^1 =zl(tfrac12-tfrac12r)-y^3(1-(-1)) =-2,y^3
Logo a integral fica
integralz=0^1integraly=0^2(-2,y^3),dy,dz =-2integraly=0^2y^3,dyintegralz=0^1dz =-2cdotl[tfracy^44r]0^2cdot1 =-2cdot4 =-8

Passo 3

Ordem de integração dy,dx,dz. Escrevemos
integral triplaE(x z - y^3),dV =integralz=0^1integralx=-1^1integraly=0^2(x z - y^3),dy,dx,dz
No integral interno em y:
integraly=0^2(x z - y^3),dy =l[x z,y-tfracy^44r]0^2 =2,x z-4
Depois em x:
integralx=-1^1(2,x z-4),dx =2,zintegral-1^1x,dx-4integral-1^1dx =2,zcdot0-4cdot2 =-8
E por fim em z:
integral0^1(-8),dz=-8

Passo 4

Ordem de integração dz,dx,dy. Começamos por
integral triplaE(x z - y^3),dV =integraly=0^2integralx=-1^1integralz=0^1(x z - y^3),dz,dx,dy
No integral em z:
integralz=0^1(x z - y^3),dz =l[tfracx,z^22-y^3zr]0^1 =tfracx2-y^3
Depois em x:
integralx=-1^1l(tfracx2-y^3r),dx =l[tfracx^24-y^3xr]-1^1 =l(tfrac14-y^3r)-l(tfrac14+y^3r) =-2,y^3
E por fim em y:
integraly=0^2(-2,y^3),dy =-2integral0^2y^3,dy =-2cdot4 =-8

Resposta

-8

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