Exemplo
Calcular
integralC(x^2+y^2+z^2) d s
onde C é a hélice parametrizada por:
r(t)=(a cos t, a sen t, b t), 0 <= t <= 2 pi
com a, b>0.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCl(x^2+y^2+z^2r),ds
onde C é a hélice parametrizada por
vec r(t) = l(acos t,;asen t,;b,tr), 0<= t<=2pi,
com a,b>0.
O tema é “integral de uma função escalar ao longo de uma curva”. Vamos usar a parametrização vec r(t), calcular f(vec r(t)) e o elemento de arco ds=|vec r,'(t)|,dt.

Passo 2

Primeiro avaliamos a função escalar ao longo da curva:
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 Longrightarrow fl(vec r(t)r) = (acos t)^2 + (asen t)^2 + (b,t)^2 = a^2 + b^2,t^2

Passo 3

Agora calculamos a derivada da parametrização e seu módulo:
vec r,'(t) =l(-asen t,;acos t,;br),
l|vec r,'(t)r| =raiz(-asen t)^2 + (acos t)^2 + b^2 =raiza^2(sen^2t+cos^2t)+b^2 =raiza^2 + b^2

Passo 4

Montamos a integral de linha em t:
integralC(x^2+y^2+z^2),ds =integral0^2pil(a^2 + b^2,t^2r),l|vec r,'(t)r|,dt =raiza^2 + b^2, integral0^2pil(a^2 + b^2,t^2r),dt

Passo 5

Separamos em duas integrais fáceis:
integral0^2pia^2,dt =a^2l[tr]0^2pi =2pi,a^2,
integral0^2pib^2,t^2,dt =b^2![tfract^33]0^2pi =b^2,(2pi)^33 =8,b^2,pi^33

Passo 6

Somando e factorizando fica
integralC(x^2+y^2+z^2),ds =raiza^2 + b^2,l(2pi,a^2 + tfrac8,b^2,pi^33r)

Resposta

boxed integralCl(x^2+y^2+z^2r),ds =raiza^2 + b^2,l(2pi,a^2 + tfrac8,b^2,pi^33r)

Exercícios relacionados