Em cada caso, encontre uma parametrização para C e para a reta tangente a C no ponto P :
C=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2-2 z^2=1 e y=2 z+1 e P=(-raiz2,-1,-1).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da curva C definida pela interseção das superfícies
x^2+y^2-2z^2=1 e y=2z+1,
e também a reta tangente a C no ponto P=(-raiz2,-1,-1). A ideia é usar a expressão de y em função de z para obter uma elipse em (x,z), parametrizá-la por funções trigonométricas e, em seguida, calcular a reta tangente a partir da derivada.

Passo 2

Substituindo y=2z+1 em x^2+y^2-2z^2=1, temos
x^2+(2z+1)^2-2z^2=1 Rightarrow x^2+4z^2+4z+1-2z^2=1 Rightarrow x^2+2z^2+4z=0
Agora completamos o quadrado em z:
x^2+2l((z+1)^2-1r)=0 Rightarrow x^2+2(z+1)^2=2 Rightarrow x^22+(z+1)^2=1,
que é a equação de uma elipse em (x,z).

Passo 3

Para parametrizar essa elipse, introduzimos tin[0,2pi) e definimos
x=raiz2cos t, z+1=sin t ;Longrightarrow; z=-1+sin t
Como y=2z+1, segue
y=2(-1+sin t)+1=-1+2sin t
Logo uma parametrização de C é
r(t)=l(raiz2cos t,,-1+2sin t,,-1+sin tr)

Passo 4

Para achar o parâmetro t0 que corresponde a P=(-raiz2,-1,-1), igualamos
raiz2cos t0=-raiz2 Rightarrow cos t0=-1, -1+sin t0=-1 Rightarrow sin t0=0,
o que dá t0=pi.

Passo 5

Calculamos a derivada
r'(t)=l(-raiz2sin t,;2cos t,;cos tr)
e avaliamos em t=pi:
r'(pi)=(0,-2,-1)
Esse vetor fornece a direção da reta tangente em P.

Passo 6

Assim, a reta tangente em P pode ser parametrizada por um parâmetro s qualquer:
ell(s) = P + s, r'(pi) =l(-raiz2,,-1,,-1r)+s,(0,-2,-1)

Resposta

Parametrização de C:
r(t)=l(raiz2cos t,,-1+2sin t,,-1+sin tr), tin[0,2pi)
Parametrização da reta tangente em P:
ell(s)=l(-raiz2,,-1,,-1r)+s,(0,-2,-1)

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