Em cada caso, encontre uma parametrização para
e para a reta tangente a
no ponto
:
e
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização da curva
definida pela interseção das superfícies
e também a reta tangente a
no ponto
. A ideia é usar a expressão de
em função de
para obter uma elipse em
, parametrizá-la por funções trigonométricas e, em seguida, calcular a reta tangente a partir da derivada.
Passo 2
Substituindo
em
, temos
Agora completamos o quadrado em
:
que é a equação de uma elipse em
.
Passo 3
Para parametrizar essa elipse, introduzimos
e definimos
Como
, segue
Logo uma parametrização de
é
Passo 4
Para achar o parâmetro
que corresponde a
, igualamos
o que dá
.
Passo 5
Calculamos a derivada
e avaliamos em
:
Esse vetor fornece a direção da reta tangente em
.
Passo 6
Assim, a reta tangente em
pode ser parametrizada por um parâmetro
qualquer:
Resposta
Parametrização de
:
Parametrização da reta tangente em
: