Em cada caso, encontre uma parametrização para C e para a reta tangente a C no ponto P :
C=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2=1 e z=x+1 e P=(-12, raiz22, 12).

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da curva
C=(x,y,z)in R^3mid x^2+y^2+z^2=1,;z=x+1
que é a interseção de uma esfera com um plano (logo uma circunferência), e também a reta tangente a C no ponto
P=l(-tfrac12,;tfracraiz22,;tfrac12r)
Vamos, então, eliminar z pela equação do plano e parametrizar em função de um ângulo t.

Passo 2

Substituindo z=x+1 em x^2+y^2+z^2=1 obtemos
x^2+y^2+(x+1)^2=1 ;Longrightarrow; 2x^2+2x+y^2=0 ;Longrightarrow; 2l(x+tfrac12r)^2+y^2=tfrac12
Assim vemos uma circunferência de centro l(-tfrac12,0r) no plano z=x+1 e raio tfrac1raiz2. Uma parametrização natural é
x(t)=-tfrac12+tfrac12cos t, y(t)=tfrac1raiz2sin t, z(t)=x(t)+1=tfrac12+tfrac12cos t, tin[0,2pi)

Passo 3

Para ver em que valor t0 a parametrização atinge P, igualamos
x(t0)=-tfrac12Longrightarrowtfrac12cos t0=0 ;Rightarrow;cos t0=0,
e
y(t0)=tfrac1raiz2sin t0=tfracraiz22 ;Rightarrow;sin t0=1 ;Rightarrow;t0=tfracpi2

Passo 4

Calculamos a derivada r'(t) para obter o vetor tangente em t0:
r'(t)=l(-tfrac12sin t,;tfrac1raiz2cos t,;-tfrac12sin tr) ;Longrightarrow; r'(tfracpi2)=l(-tfrac12,,0,,-tfrac12r) sim(-1,0,-1)
Portanto a reta tangente em P pode ser parametrizada por
ell(s) =P+s,(-1,0,-1) =l(-tfrac12,tfracraiz22,tfrac12r) +s,(-1,0,-1), sin R

Resposta

Parametrização de C:
gamma(t)=l(-tfrac12+tfrac12cos t,;tfrac1raiz2sin t,;tfrac12+tfrac12cos tr), tin[0,2pi)
Parametrização da reta tangente em P:
ell(s)=l(-tfrac12,tfracraiz22,tfrac12r)+s,(-1,0,-1), sin R

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