Instrução: Para cada função abaixo, encontre sua representação como série de potências centrada em a=0 e determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(b) g(x)=x(1-x^2)^2

Passo 1

O enunciado pede a série de potências centrada em a=0 para
g(x)=x(1-x^2)^2,
além do raio de convergência e do intervalo de convergência. Aqui vamos usar séries geométricas e derivação de séries para obter a expansão.

Passo 2

Lembramos que a série geométrica
11-u=sumn=0^inftyu^n, |u|<1,
pode ser derivada em relação a u para gerar
ddul(11-ur)=1(1-u)^2 =sumn=0^inftyn,u^n-1 =sumn=1^inftyn,u^n-1
Reindexando m=n-1
1(1-u)^2 =summ=0^infty(m+1),u^m

Passo 3

No nosso caso, fazemos u=x^2. Assim
1(1-x^2)^2 =summ=0^infty(m+1),x^2m, |x^2|<1

Passo 4

Multiplicando por x para obter g(x):
g(x)=x(1-x^2)^2 =xsumm=0^infty(m+1),x^2m =summ=0^infty(m+1),x^2m+1
Portanto a série de potências centrada em zero é
boxedg(x)=sumn=0^infty(n+1),x^2n+1

Passo 5

O domínio de convergência vem da condição |x^2|<1, ou seja
|x|<1,
logo o raio de convergência é
boxedR=1

Passo 6

Precisamos verificar os extremos x=pm1:
  • Para x=1 a série vira sumn=0^infty(n+1), que diverge.
  • Para x=-1 a série vira sumn=0^infty(n+1)(-1)^2n+1=-sumn=0^infty(n+1), também diverge.

Resposta

Série de potências:
g(x)=sumn=0^infty(n+1),x^2n+1
Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: (-1,1).

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