Instrução: Para cada função abaixo, encontre sua representação como série de potências centrada em
e determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a série de potências centrada em
para
além do raio de convergência e do intervalo de convergência. Aqui vamos usar séries geométricas e derivação de séries para obter a expansão.
Passo 2
Lembramos que a série geométrica
pode ser derivada em relação a
para gerar
Reindexando
dá
Passo 3
No nosso caso, fazemos
. Assim
Passo 4
Multiplicando por
para obter
:
Portanto a série de potências centrada em zero é
Passo 5
O domínio de convergência vem da condição
, ou seja
logo o raio de convergência é
Passo 6
Precisamos verificar os extremos
:
- Para
a série vira , que diverge. - Para
a série vira , também diverge.
Resposta
Série de potências:
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: