Instrução: Para cada função abaixo, encontre sua representação como série de potências centrada em a=0 e determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(c) h(x)=arctan (x / 2)

Passo 1

O enunciado pede a série de potências centrada em a=0 (Maclaurin) para
h(x)=arctanl(x/2r)
e também o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Lembramos que a expansão conhecida para
arctan(u)
em torno de u=0 é
arctan(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+12n+1,
válida para lvert urvert<=1 (com convergência condicional em u=pm1).

Passo 3

Fazendo a substituição u=x/2 na série de arctan(u), obtemos
h(x)=arctanl(x/2r) =sumn=0^infty(-1)^n(x/2)^2n+12n+1 =sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1),2^2n+1

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão a
an=(-1)^nx^2n+1(2n+1),2^2n+1
Temos
limntoinftylvertan+1anrvert =limntoinftylvert xrvert^2n+3(2n+3),2^2n+3 cdot(2n+1),2^2n+1lvert xrvert^2n+1 =lvert xrvert^24
Exigindo que esse limite seja menor que 1, vem lvert xrvert^2/4<1, ou seja
lvert xrvert<2
Portanto, o raio de convergência é R=2.

Passo 5

Nos pontos extremos x=2 e x=-2 temos u=x/2=pm1. A série torna-se
sumn=0^infty(-1)^n(pm1)^2n+12n+1 =sumn=0^infty(-1)^npm12n+1,
que é uma série alternada com termos em módulo decrescente a zero, logo convergente (condicionalmente). Assim o intervalo de convergência é
[-2,2]

Resposta

boxedh(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1),2^2n+1, R=2, intervalo de convergência [-2,2] ê

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