Instrução: Para cada função abaixo, encontre sua representação como série de potências centrada em e determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(c)
Passo 1
O enunciado pede a série de potências centrada em (Maclaurin) para
e também o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.
Passo 2
Lembramos que a expansão conhecida para
em torno de é
válida para (com convergência condicional em ).
Passo 3
Fazendo a substituição na série de , obtemos
Passo 4
Para achar o raio de convergência , aplicamos o teste da razão a
Temos
Exigindo que esse limite seja menor que 1, vem lvert xrvert^2/4<1, ou seja
lvert xrvert<2
Portanto, o raio de convergência é R=2.
Passo 5
Nos pontos extremos x=2 e x=-2 temos u=x/2=pm1. A série torna-se