Exemplo

Calcular:

integralC(x^2+y^2) d s
onde C é o quarto de círculo de raio 2 no primeiro quadrante, de (2,0) até o ponto (0,2).

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha de uma função escalar f(x,y)=x^2+y^2 ao longo do arco C, que é o quarto de círculo de raio 2 no primeiro quadrante, indo de (2,0) a (0,2). O conteúdo é integral de linha de função escalar sobre curva, e vamos precisar parametrizar C e usar a fórmula
integralCf(x,y),ds = integrala^bfl(x(t),y(t)r),l|r'(t)r|,dt

Passo 2

Parametrizamos o quarto de círculo de raio 2 por
x(t)=2cos t, y(t)=2sin t,
com t variando de 0 até tfracpi2. O vetor posição é r(t)=(2cos t,,2sin t).

Passo 3

Calculamos a diferencial de arco ds. Primeiro derivamos
r'(t)=(-2sin t,,2cos t),
então
ds = |r'(t)|,dt = raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2,dt = raiz4sin^2t+4cos^2t,dt =2,dt

Passo 4

Em cima da curva C temos
x(t)^2+y(t)^2=(2cos t)^2+(2sin t)^2=4(cos^2t+sin^2t)=4
Substituindo em f,ds
fl(x(t),y(t)r),ds = 4cdot(2,dt)=8,dt
Assim o integral vira
integralC(x^2+y^2),ds =integral0^pi/28,dt =8cdotpi2 =4pi

Resposta

4pi

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