Em cada caso, encontre uma parametrização para C e para a reta tangente a C no ponto P :
C=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2=1 e(x-1)^2+y^2+(z-1)^2=1 e P=(12, raiz22, 12).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização de CsubsetR^3, que é a interseção das esferas
x^2+y^2+z^2=1 e (x-1)^2+y^2+(z-1)^2=1,
e também a reta tangente a essa curva no ponto
P=l(tfrac12,;tfracraiz22,;tfrac12r)
O conteúdo principal é encontrar o plano que contém C, então escrever C como um círculo nesse plano, e daí derivar sua parametrização e, em seguida, a parametrização da reta tangente.

Passo 2

Subtraindo as equações das esferas obtemos
Logo
O plano . A projeção do centro da esfera nesse plano é
logo
O raio do círculo vem de
portanto .

Passo 3

Para parametrizar o círculo em x+z=1, note que podemos escrever
x=tfrac12+u, z=tfrac12-u,
e então a condição x^2+y^2+z^2=1
l(tfrac12+ur)^2+y^2+l(tfrac12-ur)^2=1 ;iff; 2u^2+y^2=tfrac12
Fazendo
u=tfrac1raiz2cos t, y=tfrac1raiz2sin t,
obtemos a parametrização
r(t)=l(x(t),y(t),z(t)r) = l(tfrac12+tfrac1raiz2cos t,; tfrac1raiz2sin t,; tfrac12-tfrac1raiz2cos tr),
com tin[0,2pi). Verifique que para t=tfracpi2 temos
rl(tfracpi2r) = l(tfrac12,;tfracraiz22,;tfrac12r)=P

Passo 4

A reta tangente a C em P tem direção r'(t) avaliada em t=tfracpi2. Calculando
r'(t) =l(-tfrac1raiz2sin t,; tfrac1raiz2cos t,; tfrac1raiz2sin tr),
temos em t=tfracpi2 que sin(t)=1, cos(t)=0, logo
r'l(tfracpi2r) =l(-tfrac1raiz2,,0,,tfrac1raiz2r) sim(-1,0,1)
Assim a reta tangente pode ser parametrizada por
ell(s) =P+s,(-1,0,1) = l(tfrac12,tfracraiz22,tfrac12r) +s,(-1,0,1),
com sinR.

Resposta

Parametrização de C:
r(t)=l(tfrac12+tfrac1raiz2cos t,; tfrac1raiz2sin t,; tfrac12-tfrac1raiz2cos tr), tin[0,2pi)
Parametrização da reta tangente em P:
ell(s) =l(tfrac12,tfracraiz22,tfrac12r) +s,(-1,0,1), sinR

Exercícios relacionados