Em cada caso, encontre uma parametrização para
e para a reta tangente a
no ponto
:
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização de
, que é a interseção das esferas
e também a reta tangente a essa curva no ponto
O conteúdo principal é encontrar o plano que contém
, então escrever
como um círculo nesse plano, e daí derivar sua parametrização e, em seguida, a parametrização da reta tangente.
Passo 2
Subtraindo as equações das esferas obtemos
Logo
O plano . A projeção do centro da esfera
nesse plano é
logo
O raio
do círculo vem de
portanto
.
Passo 3
Para parametrizar o círculo em
, note que podemos escrever
e então a condição
dá
Fazendo
obtemos a parametrização
com
. Verifique que para
temos
Passo 4
A reta tangente a
em
tem direção
avaliada em
. Calculando
temos em
que
,
, logo
Assim a reta tangente pode ser parametrizada por
com
.
Resposta
Parametrização de
:
Parametrização da reta tangente em
: