Calcule a integral:
integralC(x+y) d s
onde C é composta por dois trechos:
  • C1 : segmento de reta do ponto (0,0) até (1,0).
  • C2 : arco de circunferência de raio 1 do ponto (1,0) até (0,1), percorrendo o primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha em relação ao comprimento de arco
integralC(x+y),ds
onde C é a união de dois trechos no primeiro quadrante:
  1. C1, o segmento de reta de (0,0) a (1,0).
  2. C2, o arco de circunferência de raio 1 de (1,0) a (0,1).
Para resolver, vamos usar a definição de integral de linha em que, se r(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização de C em tin[a,b], então
ds=raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt
e
integralC (x+y),ds =integrala^bl(x(t)+y(t)r)raiz(x')^2+(y')^2,dt

Passo 2

Parametrizamos C1 por
x(t)=t, y(t)=0, tin[0,1]
Então
x'(t)=1, y'(t)=0, ds=raiz1^2+0^2,dt=dt
A integral em C1 fica
integralC1(x+y),ds =integral0^1l(t+0r),dt =integral0^1t,dt =12

Passo 3

Parametrizamos C2 pelo arco de circunferência de raio 1:
x(t)=cos t, y(t)=sin t, tinl[0,tfracpi2r]
Temos
x'(t)=-sin t, y'(t)=cos t,
portanto
ds=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2,dt =raizsin^2t+cos^2t,dt =dt
A integral em C2 é
integralC2(x+y),ds =integral0^pi2l(cos t+sin tr),dt =l[sin t-cos tr]0^pi2 =(1-0);-;(0-1) =2

Passo 4

Agora somamos as contribuições de C1 e C2:
integralC(x+y),ds =integralC1(x+y),ds+integralC2(x+y),ds =12+2 =52

Resposta

52

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