Em cada caso, encontre uma parametrização para C e para a reta tangente a C no ponto P :
C=(x, y, z) in R^3 mid z=y^2-x^2 e x^2+y^2=1 e P=(raiz22, raiz22, 0).

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção
C=(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2=1,;z=y^2-x^2
e a reta tangente a C no ponto
P=l(tfracraiz22,,tfracraiz22,,0r)
O conteúdo é parametrização de curvas e cálculo de tangente usando derivadas de um vetor-função.

Passo 2

Para parametrizar C, usamos o ângulo t no cilindro x^2+y^2=1:
x=cos t, y=sin t,
e então
z=y^2-x^2=sin^2t-cos^2t
Logo, uma parametrização de C é
r(t)=l(cos t,;sin t,;sin^2t-cos^2tr),
com tin[0,2pi).

Passo 3

Para achar o parâmetro t0 que dá P, igualamos
cos t0=tfracraiz22 e sin t0=tfracraiz22,
o que ocorre em
t0=pi4

Passo 4

Calculamos a derivada
r'(t)=l(-sin t,;cos t,;2sin2tr)
Em t0=pi/4 isso vale
r'l(tfracpi4r) =l(-tfracraiz22,;tfracraiz22,;2r)

Passo 5

A reta tangente em P tem equação vetorial
ell(s) =P+s,r'(tfracpi4) =l(tfracraiz22,tfracraiz22,0r) +sl(-tfracraiz22,tfracraiz22,2r)

Resposta

Parametrização de C:
r(t)=l(cos t,;sin t,;sin^2t-cos^2tr), tin[0,2pi)
Reta tangente em P:
ell(s)=l(tfracraiz22,tfracraiz22,0r) +sl(-tfracraiz22,tfracraiz22,2r)

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