Seja (an)n in N uma sequencia tal que
n-1n <= an <= raizn^2+1n^2, para todo n in N
O limite lim n infty an existe? Se sim, qual seu valor?
(Indique o nome do teorema que voce usar na sua justificativa.)

Passo 1

O enunciado diz que a sequência (an) satisfaz
n-1n ;<=; an ;<=;raizn^2+1n^2 para todo ninN
Queremos ver se limntoinftyan existe e qual é seu valor. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) para isso.

Passo 2

Calcular o limite da sequência inferior:
limntoinftyn-1n =limntoinftyl(1-1nr) =1-0 =1

Passo 3

Calcular o limite da sequência superior. Note que
raizn^2+1n^2 =raiz1+1n^2
Como a função raizcdot é contínua,
limntoinftyraiz1+1n^2 =raizlimntoinftyl(1+1n^2r) =raiz1+0 =1

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto à cadeia
n-1n;<=;an;<=;raiz1+1n^2,
e sabendo que ambas as extremidades tendem a 1, concluímos que
limntoinftyan=1

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan=1
Usamos o Teorema do Confronto.

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