Em cada caso, encontre uma parametrização para C e para a reta tangente a C no ponto P :
C=(x, y, z) in R^3 mid z=raiz4 x^2+y^2 e z=2 x+1 e P=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da curva
C=(x,y,z)inR^3 mid z=raiz4x^2+y^2,;z=2x+1
e da reta tangente a essa curva no ponto P=(0,1,1).
O conteúdo aqui é achar a interseção de duas superfícies em R^3 e, em seguida, usar derivadas de uma parametrização para obter a reta tangente.

Passo 2

Para parametrizar C, igualamos as duas expressões de z:
raiz4x^2+y^2=2x+1
Elevando ao quadrado (e lembrando que 2x+1>=0 para que o lado esquerdo faça sentido),
4x^2+y^2=(2x+1)^2=4x^2+4x+1 Longrightarrow y^2=4x+1
Escolhemos então x=t como parâmetro, obtendo
y=raiz4t+1, z=2t+1,
com domínio t>= -tfrac14 para manter 4t+1>=0. Assim, uma parametrização de C é
r(t)=l(t,;raiz4t+1,;2t+1r), t>= -tfrac14,
e de fato r(0)=(0,1,1)=P.

Passo 3

Para achar a reta tangente em P, calculamos a derivada
r'(t)=l(1,;2raiz4t+1,;2r)
Em t=0 isso dá
r'(0)=l(1,2,2r)

Passo 4

A reta tangente em P passa por P e tem direção r'(0). Uma parametrização é
boldsymbolell(s) = P + s, r'(0) = l(0,1,1r) + s,(1,2,2) = l(s,;1+2s,;1+2sr), sinR

Resposta

Parametrização de C:
r(t)=l(t,;raiz4t+1,;2t+1r), t>= -tfrac14
Parametrização da reta tangente em P:
boldsymbolell(s)=l(s,;1+2s,;1+2sr), sinR

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