Exemplo

A base de uma superfície é dada por x^2+y^2=2, x >= 0. Se a altura da superfície em (x, y) é f(x, y)=x, x >= 0, obter a área de um lado da superfície.

Passo 1

O enunciado descreve a superfície dada pelo gráfico de z=f(x,y)=x sobre a região do plano\r
(x,y)mid x^2+y^2<=2,;x>=0,\r
que é um semicírculo de raio raiz2. Queremos calcular a área de uma das faces dessa superfície, usando a fórmula de área de gráfico.

Passo 2

A fórmula de área de superfície para z=f(x,y) sobre uma região D no plano é\r
A=integral duplaDraiz1+fx^2+fy^2,dA\r
Aqui fx=partialpartial x(x)=1 e fy=partialpartial y(x)=0, logo o integrando é\r
raiz1+1^2+0^2=raiz2\r
Portanto\r
A=raiz2integral duplaDdA=raiz2,l(área de Dr)á

Passo 3

Vamos calcular a área de \r
Temos (dA=r,dr,d\theta], então\r

Passo 4

Substituindo na expressão da área,\r
A=raiz2timespi=piraiz2

Resposta

piraiz2

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