Em cada caso, encontre pontos críticos
nos quais
e
; para através do Teste das derivadas parciais de
ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
;
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função f(x,y)=x4+y3−2x^2−3y+3; é preciso achar os pontos críticos satisfazendo f_x=0 e f_y=0 e, em seguida, usar o teste de derivadas parciais de 2ª ordem para determinar se cada ponto é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Igualamos f_x=0 e f_y=0 e resolvemos:
Para f_x=0: 4x(x^2-1)=0 ⇒ x=−1,0,1
Para f_y=0: 3(y^2-1)=0 ⇒ y=−1,1
Logo, os pontos críticos são as 6 combinações (x,y) com x∈{−1,0,1} e y∈{−1,1}.
Para f_x=0: 4x(x^2-1)=0 ⇒ x=−1,0,1
Para f_y=0: 3(y^2-1)=0 ⇒ y=−1,1
Logo, os pontos críticos são as 6 combinações (x,y) com x∈{−1,0,1} e y∈{−1,1}.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem e o discriminante D:
Passo 5
Avaliamos em cada ponto e classificamos pelo sinal de D e de f_{xx}:
Em (−1,−1): f_{xx}=8, f_{yy}=−6 ⇒ D=8·(−6)=−48<0 ⇒ ponto de sela
Em (−1,1): f_{xx}=8, f_{yy}=6 ⇒ D=48>0 e f_{xx}>0 ⇒ mínimo local
Em (0,−1): f_{xx}=−4, f_{yy}=−6 ⇒ D=24>0 e f_{xx}<0 ⇒ máximo local
Em (0,1): f_{xx}=−4, f_{yy}=6 ⇒ D=−24<0 ⇒ ponto de sela
Em (1,−1): f_{xx}=8, f_{yy}=−6 ⇒ D=−48<0 ⇒ ponto de sela
Em (1,1): f_{xx}=8, f_{yy}=6 ⇒ D=48>0 e f_{xx}>0 ⇒ mínimo local
Em (−1,−1): f_{xx}=8, f_{yy}=−6 ⇒ D=8·(−6)=−48<0 ⇒ ponto de sela
Em (−1,1): f_{xx}=8, f_{yy}=6 ⇒ D=48>0 e f_{xx}>0 ⇒ mínimo local
Em (0,−1): f_{xx}=−4, f_{yy}=−6 ⇒ D=24>0 e f_{xx}<0 ⇒ máximo local
Em (0,1): f_{xx}=−4, f_{yy}=6 ⇒ D=−24<0 ⇒ ponto de sela
Em (1,−1): f_{xx}=8, f_{yy}=−6 ⇒ D=−48<0 ⇒ ponto de sela
Em (1,1): f_{xx}=8, f_{yy}=6 ⇒ D=48>0 e f_{xx}>0 ⇒ mínimo local
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
Mínimos locais: (−1,1), (1,1)
Máximo local: (0,−1)
Pontos de sela: (−1,−1), (0,1), (1,−1)
Mínimos locais: (−1,1), (1,1)
Máximo local: (0,−1)
Pontos de sela: (−1,−1), (0,1), (1,−1)