Em cada caso, encontre pontos críticos (x0, y0) nos quais fx(x0, y0) = 0 e Fy(x0, y0) = 0; para através do Teste das derivadas parciais de 2^a ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
f(x, y)=x^4+y^3-2 x^2-3 y+3;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x,y)=x4+y3−2x^2−3y+3; é preciso achar os pontos críticos satisfazendo f_x=0 e f_y=0 e, em seguida, usar o teste de derivadas parciais de 2ª ordem para determinar se cada ponto é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx=partial fpartial x=4x^3-4x=4x(x^2-1)
fy=partial fpartial y=3y^2-3=3(y^2-1)

Passo 3

Igualamos f_x=0 e f_y=0 e resolvemos:
Para f_x=0: 4x(x^2-1)=0 ⇒ x=−1,0,1
Para f_y=0: 3(y^2-1)=0 ⇒ y=−1,1
Logo, os pontos críticos são as 6 combinações (x,y) com x∈{−1,0,1} e y∈{−1,1}.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem e o discriminante D:
fxx=12x^2-4, fyy=6y, fxy=0
D=fxxfyy-(fxy)^2=(12x^2-4)(6y)

Passo 5

Avaliamos em cada ponto e classificamos pelo sinal de D e de f_{xx}:
Em (−1,−1): f_{xx}=8, f_{yy}=−6 ⇒ D=8·(−6)=−48<0 ⇒ ponto de sela
Em (−1,1): f_{xx}=8, f_{yy}=6 ⇒ D=48>0 e f_{xx}>0 ⇒ mínimo local
Em (0,−1): f_{xx}=−4, f_{yy}=−6 ⇒ D=24>0 e f_{xx}<0 ⇒ máximo local
Em (0,1): f_{xx}=−4, f_{yy}=6 ⇒ D=−24<0 ⇒ ponto de sela
Em (1,−1): f_{xx}=8, f_{yy}=−6 ⇒ D=−48<0 ⇒ ponto de sela
Em (1,1): f_{xx}=8, f_{yy}=6 ⇒ D=48>0 e f_{xx}>0 ⇒ mínimo local

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
Mínimos locais: (−1,1), (1,1)
Máximo local: (0,−1)
Pontos de sela: (−1,−1), (0,1), (1,−1)

Exercícios relacionados