Determine o raio de convergência e o intervalo de divergência de cada série de potências abaixo.
sumk=0^infty x^kk!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é descobrir o raio de convergência e o intervalo de divergência da série de potências que foi dada:
sumk=0^infty x^kk!
Vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma técnica bem útil para determinar onde essa série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência $ R $ de uma série de potências. A fórmula é:
R
Onde $ a_k $ é o coeficiente da série. No nosso caso, $ a_k = \frac{1}{k!} $.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do Teste da Razão:
akak+1 = 1k!1(k+1)! = (k+1)!k! = k + 1
Agora, calculamos o limite quando $ k $ vai para o infinito:
k
Isso significa que o raio de convergência $ R $ é infinito.

Passo 4

Com o raio de convergência sendo infinito, isso quer dizer que a série converge para todos os valores reais de $ x $. Ou seja, não tem valor de $ x $ que faça a série divergir.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, e a série converge para todos os números reais. Portanto, o intervalo de divergência é vazio.

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