Resolva o pri ly^prime=ty y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A gente tem uma equação que relaciona a derivada de em relação a , que é , e uma condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais ordinárias, especificamente equações separáveis. Isso significa que a gente consegue separar as variáveis e em lados diferentes da equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação pronta para separar as variáveis. A equação é:
y' = ty
Sabemos que é a derivada de em relação a , então podemos reescrever isso como .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y , dy = t , dt e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por e por :
Dessa forma, temos todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado.

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre integral y , dy = integral t , dt e :

Passo 5

Vamos calcular essas integrais. A integral de y^22 = t^22 + C é e a integral de é . Então temos:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 6

Para encontrar 1^22 = 0^22 + C implies 12 = 0 + C implies C = 12 , usamos a condição inicial . Substituindo e na equação:

Passo 7

Agora que temos o valor de y^22 = t^22 + 12 , substituímos de volta na equação:
y^2 = t^2 + 1
Vamos multiplicar todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para y = raizt^2 + 1 tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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