Resolva o pri
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A gente tem uma equação que relaciona a derivada de
em relação a
, que é
, e uma condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais ordinárias, especificamente equações separáveis. Isso significa que a gente consegue separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação pronta para separar as variáveis. A equação é:
Sabemos que
é a derivada de
em relação a
, então podemos reescrever isso como
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
e por
:
Dessa forma, temos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado.
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre
e
:
Passo 5
Vamos calcular essas integrais. A integral de
é
e a integral de
é
. Então temos:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 6
Para encontrar
, usamos a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Agora que temos o valor de
, substituímos de volta na equação:
Vamos multiplicar todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.