Resolva o pri y^prime+2 y & =1 y(0) & =1

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação na forma padrão , onde e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação.

Passo 3

O fator integrante mu(x) = e^integral P(x) , dx = e^integral 2 , dx = e^2x é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^2x y' + 2 e^2x y = e^2x cdot 1
Isso simplifica a equação para:
ddx(e^2x y) = e^2x
A esquerda ficou da forma derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx(e^2x y) , dx = integral e^2x , dx :
e^2x y = 12 e^2x + C
A integração da esquerda simplesmente remove a derivada, ficando:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y = 12 + C e^-2x dividindo tudo por :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial 1 = 12 + C e^0 Rightarrow 1 = 12 + C Rightarrow C = 12 para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 12 + 12 e^-2x

Exercícios relacionados