Em cada caso, encontre pontos críticos
nos quais
e
; para através do Teste das derivadas parciais de
ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos de f e, em seguida, usar o teste das derivadas parciais de segunda ordem para classificá-los. A função é dada por:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem e aplicar o teste do discriminante D do Hessiano.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem usando regras básicas de derivação (derivada de
é
, de
é
ou
, etc.):
Passo 3
Encontremos o ponto crítico resolvendo o sistema
Multiplicando a primeira equação por 8 e a segunda por 3 para eliminar
, temos:
subtraindo:
portanto
. Substituindo em
dá
e
. Logo o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, calculemos as derivadas de segunda ordem para montar o Hessiano e seu discriminante:
O discriminante do Hessiano é
Passo 5
Pelo teste de segunda ordem: se
e
, o ponto crítico é um mínimo local; se
e
, é máximo local; se
, é ponto de sela. Aqui
e
, logo
é um mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico é (2, -1) e é um mínimo local.