Em cada caso, encontre pontos críticos (x0, y0) nos quais fx(x0, y0) = 0 e Fy(x0, y0) = 0; para através do Teste das derivadas parciais de 2^a ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
f(x, y)=2 x^2+3 x y+4 y^2-5 x+2 y;

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos de f e, em seguida, usar o teste das derivadas parciais de segunda ordem para classificá-los. A função é dada por:
f(x,y) = 2 x^2 + 3 x y + 4 y^2 - 5 x + 2 y
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem e aplicar o teste do discriminante D do Hessiano.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem usando regras básicas de derivação (derivada de x^2 é 2x, de xy é y ou x, etc.):
fx = partial fpartial x = 4x + 3y - 5,
fy = partial fpartial y = 3x + 8y + 2

Passo 3

Encontremos o ponto crítico resolvendo o sistema
4x + 3y - 5 = 0, 3x + 8y + 2 = 0
Multiplicando a primeira equação por 8 e a segunda por 3 para eliminar y, temos:
32x + 24y = 40, 9x + 24y = -6,
subtraindo: 23x = 46 portanto x = 2. Substituindo em 4x + 3y = 5 8 + 3y = 5 e y = -1. Logo o ponto crítico é (2,-1).

Passo 4

Agora, calculemos as derivadas de segunda ordem para montar o Hessiano e seu discriminante:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 4,
fxy = partial^2 fpartial xpartial y = 3,
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 8
O discriminante do Hessiano é
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = 4cdot8 - 3^2 = 32 - 9 = 23

Passo 5

Pelo teste de segunda ordem: se D>0 e fxx>0, o ponto crítico é um mínimo local; se D>0 e fxx<0, é máximo local; se D<0, é ponto de sela. Aqui D=23>0 e fxx=4>0, logo (2,-1) é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (2, -1) e é um mínimo local.

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