Consideres as equações diferenciais abaixo e resolva utilizando séries de potências:
y=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n, (1+x^2) y^prime+2 x y=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial (1 + x^2) y' + 2x y = 0 usando séries de potências. Para isso, vamos precisar entender como representar y como uma série de potências e como derivar essa série. A ideia é encontrar os coeficientes da série que satisfazem a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y pode ser escrita como uma série de potências:
y = sumn=0^infty an x^n
Onde an são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de y em relação a x:
y' = sumn=0^infty an ddxx^n = sumn=0^infty an n x^n-1
Podemos reescrever a derivada ajustando o índice para facilitar os cálculos:
y' = sumn=1^infty an n x^n-1

Passo 4

Substituindo y e y' na equação diferencial:
(1 + x^2) sumn=1^infty an n x^n-1 + 2x sumn=0^infty an x^n = 0
Vamos distribuir o (1 + x^2) na primeira soma:
sumn=1^infty an n x^n-1 + sumn=1^infty an n x^n+1 + 2x sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 5

Agora, vamos ajustar os índices para que todas as somas tenham o mesmo expoente de x. Para a segunda soma, fazemos a substituição m = n + 2:
sumn=1^infty an n x^n-1 + summ=3^infty am-2 (m-2) x^m-1 + 2 sumn=0^infty an x^n+1 = 0
Reescrevendo com m de volta para n:
sumn=1^infty an n x^n-1 + sumn=3^infty an-2 (n-2) x^n-1 + 2 sumn=1^infty an-1 x^n = 0

Passo 6

Agora, vamos igualar os coeficientes de cada potência de x a zero para satisfazer a equação. Começando com n=1:
Para n=1:
a1 cdot 1 cdot x^0 + 0 + 2 a0 x^1 = 0
Isso implica que a1 = 0 e 2 a0 = 0. Para não trivializar a solução, assumimos a0 = 1.

Passo 7

Para n >= 2, temos a relação de recorrência:
an n + an-2 (n-2) + 2 an-1 = 0
Resolvendo essa equação para an:
an = - an-2 (n-2) - 2 an-1 n

Passo 8

Observando o padrão, percebemos que apenas os termos com n par terão coeficientes não nulos, pois a1 = 0. Assim, podemos definir a2k para k >= 0.
Vamos calcular alguns coeficientes:
  • Para n=2:
a2 = - a0 cdot 0 - 2 a1 2 = 0
  • Para n=3:
a3 = - a1 cdot 1 - 2 a2 3 = 0
  • Para n=4:
a4 = - a2 cdot 2 - 2 a3 4 = 0
Percebemos que todos os coeficientes são zero, o que sugere que a solução trivial y = 0 satisfaz a equação. No entanto, para obter uma solução não trivial, revisitamos a escolha de a0.

Passo 9

Retomando a escolha de a0, assumimos a0 = 1 e verificamos que todos os an = 0 para n >= 1. Portanto, a solução da equação diferencial é apenas:
y = a0 = 1

Resposta

A solução da equação diferencial é y = 1.

Exercícios relacionados