Consideres as equações diferenciais abaixo e resolva utilizando séries de potências:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando séries de potências. Para isso, vamos precisar entender como representar
como uma série de potências e como derivar essa série. A ideia é encontrar os coeficientes da série que satisfazem a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Onde
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Podemos reescrever a derivada ajustando o índice para facilitar os cálculos:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial:
Vamos distribuir o
na primeira soma:
Passo 5
Agora, vamos ajustar os índices para que todas as somas tenham o mesmo expoente de
. Para a segunda soma, fazemos a substituição
:
Reescrevendo com
de volta para
:
Passo 6
Agora, vamos igualar os coeficientes de cada potência de
a zero para satisfazer a equação. Começando com
:
Para
:
Isso implica que
e
. Para não trivializar a solução, assumimos
.
Passo 7
Para
, temos a relação de recorrência:
Resolvendo essa equação para
:
Passo 8
Observando o padrão, percebemos que apenas os termos com
par terão coeficientes não nulos, pois
. Assim, podemos definir
para
.
Vamos calcular alguns coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Percebemos que todos os coeficientes são zero, o que sugere que a solução trivial
satisfaz a equação. No entanto, para obter uma solução não trivial, revisitamos a escolha de
.
Passo 9
Retomando a escolha de
, assumimos
e verificamos que todos os
para
. Portanto, a solução da equação diferencial é apenas:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.