Em cada caso, encontre pontos críticos
nos quais
e
; para através do Teste das derivadas parciais de
ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
;
Passo 1
Bora lá! A questão é sobre encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=x³−y³−2xy+6, ou seja, resolver
e
, e depois usar o teste das derivadas parciais de 2ª ordem para ver se cada ponto é máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Em seguida, igualamos ambas a zero e montamos o sistema:
Passo 3
Da primeira equação temos
. Substituindo isso na segunda:
Dividindo por -2:
Logo, ou
ou
(ou seja,
).
Passo 4
Agora achamos o
em cada caso:
• Se , então
. Ponto crítico
.
• Se , então
Ponto crítico
.
• Se
• Se
Passo 5
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é
Avaliando em cada ponto:
• Em :
• Em
Isso indica ponto de sela.
• Em :
• Em
Como
e
, é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0), ponto de sela, e (-2/3, 2/3), máximo local.