Em cada caso, encontre pontos críticos (x0, y0) nos quais fx(x0, y0) = 0 e Fy(x0, y0) = 0; para através do Teste das derivadas parciais de 2^a ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
f(x, y)=x^3-y^3-2 x y+6;

Passo 1

Bora lá! A questão é sobre encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=x³−y³−2xy+6, ou seja, resolver fx=0 e fy=0, e depois usar o teste das derivadas parciais de 2ª ordem para ver se cada ponto é máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
partial fpartial x=fx=3x^2-2y,
partial fpartial y=fy=-3y^2-2x
Em seguida, igualamos ambas a zero e montamos o sistema:
3x^2-2y=0, -3y^2-2x=0

Passo 3

Da primeira equação temos y=tfrac32x^2. Substituindo isso na segunda:
-3l(tfrac32x^2r)^2 -2x=0
-3cdot tfrac94x^4 -2x=0
-tfrac274x^4 -2x=0
Dividindo por -2:
tfrac278x^4 + x=0
xl(1+tfrac278x^3r)=0
Logo, ou x=0 ou x^3=-tfrac827 (ou seja, x=-tfrac23).

Passo 4

Agora achamos o y em cada caso:
• Se x=0, então y=tfrac32cdot0^2=0. Ponto crítico (0,0).
• Se x=-tfrac23, então y=tfrac32l(-tfrac23r)^2=tfrac32cdottfrac49=tfrac23 Ponto crítico (-tfrac23,,tfrac23).

Passo 5

Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
fxx=6x,
fyy=-6y,
fxy=fyx=-2
O discriminante é
D=fxxfyy-(fxy)^2
Avaliando em cada ponto:
• Em (0,0):
fxx=0, fyy=0, D=0cdot0-(-2)^2=-4<0
Isso indica ponto de sela.
• Em (-tfrac23,,tfrac23):
fxx=6l(-tfrac23r)=-4, fyy=-6l(tfrac23r)=-4, D=(-4)(-4)-(-2)^2=16-4=12>0
Como D>0 e fxx<0, é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), ponto de sela, e (-2/3, 2/3), máximo local.

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