Consideres as equações diferenciais abaixo e resolva utilizando séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências. A equação dada é:
Então, o conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais e séries de potências. Vamos precisar supor que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências e encontrar os coeficientes dessa série que satisfazem a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y(x) $ pode ser expressa como uma série de potências:
Isso significa que $ y(x) $ é uma soma infinita onde cada termo é um coeficiente $ a_n $ multiplicado por $ x^n $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(x) $. A primeira derivada é:
e a segunda derivada é:
Essas expressões nos ajudam a substituir na equação diferencial original.
Passo 4
Substituindo $ y’’(x) $ e $ y(x) $ na equação $ y’’ + x^{2} y = 0 $, temos:
Vamos simplificar essa expressão para combinar os termos em potências iguais de $ x $.
Passo 5
Primeiro, ajustamos os índices para que todas as somas comecem do mesmo expoente. No primeiro somatório, fazemos uma mudança de índice substituindo $ n = k + 2 $:
No segundo somatório, temos:
Agora, reescrevemos o segundo somatório com índice $ k $ para combinar com o primeiro:
Passo 6
Juntando as duas somas, temos:
Para igualar tudo a zero, precisamos que os coeficientes de cada potência de $ x^k $ sejam iguais a zero. Assim, para cada $ k \geq 0 $:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes $ a_n $.
Passo 7
Vamos resolver a relação de recorrência:
Para $ k \geq 2 $:
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes.
Passo 8
As condições iniciais são $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Isso nos dá:
Então, sabemos que $ a_0 = 1 $ e $ a_1 = 0 $.
Passo 9
Usando a relação de recorrência $ a_{k+2} = -\frac{a_{k-2}}{(k+2)(k+1)} $, vamos calcular alguns coeficientes:
-
Para $ k = 0 $:
ak+2 = -ak-2(k+2)(k+1) -
Para $ k = 1 $:
k = 0 -
Para $ k = 2 $:
a2 = -a02 cdot 1 = -12 -
Para $ k = 3 $:
k = 1
E assim por diante. Observamos que os coeficientes ímpares são zero e os coeficientes pares seguem uma sequência alternada.
Passo 10
Com os coeficientes encontrados, podemos escrever a solução até o quarto termo:
Essa série representa a solução da equação diferencial dada, expressa como uma série de potências.
Resposta
A solução da equação diferencial $ y’’ + x^{2} y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $ é dada pela série de potências: