Consideres as equações diferenciais abaixo e resolva utilizando séries de potências:
ly^prime prime+x^2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências. A equação dada é:
y'' + x^2 y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0
Então, o conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais e séries de potências. Vamos precisar supor que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências e encontrar os coeficientes dessa série que satisfazem a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ y(x) $ pode ser expressa como uma série de potências:
y(x)
Isso significa que $ y(x) $ é uma soma infinita onde cada termo é um coeficiente $ a_n $ multiplicado por $ x^n $.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(x) $. A primeira derivada é:
y(x)
e a segunda derivada é:
y'(x) = sumn=1^infty an n x^n-1,
Essas expressões nos ajudam a substituir na equação diferencial original.

Passo 4

Substituindo $ y’’(x) $ e $ y(x) $ na equação $ y’’ + x^{2} y = 0 $, temos:
y''(x)
Vamos simplificar essa expressão para combinar os termos em potências iguais de $ x $.

Passo 5

Primeiro, ajustamos os índices para que todas as somas comecem do mesmo expoente. No primeiro somatório, fazemos uma mudança de índice substituindo $ n = k + 2 $:
n = k + 2
No segundo somatório, temos:
sumk=0^infty ak+2 (k+2) (k+1) x^k
Agora, reescrevemos o segundo somatório com índice $ k $ para combinar com o primeiro:
x^2 sumn=0^infty an x^n = sumn=0^infty an x^n+2 = sumk=2^infty ak-2 x^k

Passo 6

Juntando as duas somas, temos:
sumk=0^infty ak+2 (k+2)(k+1) x^k + sumk=2^infty ak-2 x^k = 0
Para igualar tudo a zero, precisamos que os coeficientes de cada potência de $ x^k $ sejam iguais a zero. Assim, para cada $ k \geq 0 $:
x^k
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes $ a_n $.

Passo 7

Vamos resolver a relação de recorrência:
Para $ k \geq 2 $:
k >= 2
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes.

Passo 8

As condições iniciais são $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Isso nos dá:
y(0) = 1
y'(0) = 0
Então, sabemos que $ a_0 = 1 $ e $ a_1 = 0 $.

Passo 9

Usando a relação de recorrência $ a_{k+2} = -\frac{a_{k-2}}{(k+2)(k+1)} $, vamos calcular alguns coeficientes:
  • Para $ k = 0 $:
    ak+2 = -ak-2(k+2)(k+1)
  • Para $ k = 1 $:
    k = 0
  • Para $ k = 2 $:
    a2 = -a02 cdot 1 = -12
  • Para $ k = 3 $:
    k = 1
E assim por diante. Observamos que os coeficientes ímpares são zero e os coeficientes pares seguem uma sequência alternada.

Passo 10

Com os coeficientes encontrados, podemos escrever a solução até o quarto termo:
y(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + dots = 1 - 12x^2 + 124x^4 + dots
Essa série representa a solução da equação diferencial dada, expressa como uma série de potências.

Resposta

A solução da equação diferencial $ y’’ + x^{2} y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $ é dada pela série de potências:
y'' + x^2 y = 0

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