Em cada caso, encontre pontos críticos
nos quais
e
; para através do Teste das derivadas parciais de
ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
;
Passo 1
O enunciado pede pra achar os pontos críticos de f(x,y)=4xy−x⁴−y⁴, ou seja, onde as derivadas parciais fₓ e f_y se anulam, e aí usar o teste de segunda ordem (determinante da Hessiana) pra dizer se cada ponto é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Para fₓ temos
Para fₓ temos
Para f_y temos
Passo 3
Agora resolvemos o sistema fₓ=0, f_y=0:
De fₓ=0 vem ⇒
.
De f_y=0 vem ⇒
.
Substituindo y=x³ em x=y³ dá , ou seja x(x⁸−1)=0, logo x=0 ou x⁸=1 ⇒ x=±1.
Isso gera os pontos críticos (0,0), (1,1) e (−1,−1).
De fₓ=0 vem
De f_y=0 vem
Substituindo y=x³ em x=y³ dá
Isso gera os pontos críticos (0,0), (1,1) e (−1,−1).
Passo 4
Agora vamos ao teste de segunda ordem. Primeiro as segundas derivadas:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Avaliando D e f_{xx} em cada ponto:
- Em (0,0): D=144·0·0−16=−16<0 ⇒ ponto de sela.
- Em (1,1): D=144·1·1−16=128>0 e f_{xx}(1,1)=−12<0 ⇒ máximo local.
- Em (−1,−1): D=144·1·1−16=128>0 e f_{xx}(−1,−1)=−12<0 ⇒ máximo local.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0), (1,1) e (−1,−1). Em (0,0) temos ponto de sela; em (1,1) e em (−1,−1) temos máximos locais.