Em cada caso, encontre pontos críticos (x0, y0) nos quais fx(x0, y0)=0 e Fy(x0, y0)=0; para através do Teste das derivadas parciais de 2^a ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
f(x, y)=4 x y-x^4-y^4;

Passo 1

O enunciado pede pra achar os pontos críticos de f(x,y)=4xy−x⁴−y⁴, ou seja, onde as derivadas parciais fₓ e f_y se anulam, e aí usar o teste de segunda ordem (determinante da Hessiana) pra dizer se cada ponto é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
Para fₓ temos
fₓ(x,y)=partialpartial x(4xy−x⁴−y⁴)=4y−4x³³
Para f_y temos
fy(x,y)=partialpartial y(4xy−x⁴−y⁴)=4x−4y³³

Passo 3

Agora resolvemos o sistema fₓ=0, f_y=0:
De fₓ=0 vem 4y−4x³=0³ y=x³³.
De f_y=0 vem 4x−4y³=0³ x=y³³.
Substituindo y=x³ em x=y³ dá x=(x³)³=x⁹³³, ou seja x(x⁸−1)=0, logo x=0 ou x⁸=1 ⇒ x=±1.
Isso gera os pontos críticos (0,0), (1,1) e (−1,−1).

Passo 4

Agora vamos ao teste de segunda ordem. Primeiro as segundas derivadas:
fxx(x,y)=partialpartial x(4y−4x³)=−12x²³²
fyy(x,y)=partialpartial y(4x−4y³)=−12y²³²
fxy(x,y)=partialpartial y(4y−4x³)=4³
O determinante da Hessiana é
D(x,y)=fxxfyy−(fxy)²=144x²y²−16²²²

Passo 5

Avaliando D e f_{xx} em cada ponto:
  • Em (0,0): D=144·0·0−16=−16<0 ⇒ ponto de sela.
  • Em (1,1): D=144·1·1−16=128>0 e f_{xx}(1,1)=−12<0 ⇒ máximo local.
  • Em (−1,−1): D=144·1·1−16=128>0 e f_{xx}(−1,−1)=−12<0 ⇒ máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), (1,1) e (−1,−1). Em (0,0) temos ponto de sela; em (1,1) e em (−1,−1) temos máximos locais.

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