Sabemos que
é convergente e que
é divergente. É correto afirmar que:
pode ser qualquer número real
não existe valor de
que satisfaça essas duas condições
囚
não existe valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que envolve determinar para quais valores de $ p $ duas integrais impróprias se comportam de maneiras diferentes: uma converge e a outra diverge. Isso está relacionado ao tema de análise de convergência de integrais impróprias. Para resolver, precisamos entender como os expoentes das funções dentro das integrais afetam esse comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira integral:
Sabemos que a integral
converge se $ k > 1 $ e diverge se $ k \leq 1 $. Aqui, o expoente é $ 2p + 15 $. Para que essa integral converja:
Passo 3
Resolvendo a desigualdade:
Então, para a primeira integral convergir, $ p $ deve ser maior que
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral:
Usando a mesma regra, essa integral diverge se o expoente $ 5p - 4 \leq 1 $. Então:
Passo 5
Resolvendo essa desigualdade:
Então, para a segunda integral divergir, $ p $ deve ser menor ou igual a
.
Passo 6
Agora, juntando as duas condições que encontramos:
- $ p > -7 $ (para a primeira integral convergir)
- $ p \leq 1 $ (para a segunda integral divergir)
Isso significa que $ p $ deve satisfazer ambas as condições ao mesmo tempo. Ou seja:
Resposta
O valor de $ p $ que satisfaz as duas condições é: