Sabemos que integral1^infty 1x^2 p+15 d x é convergente e que integral1^infty 1x^5 p-4 d x é divergente. É correto afirmar que:
square p pode ser qualquer número real
não existe valor de p que satisfaça essas duas condições
square
-7 <= p <= 1

-7 <= p<1 -7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que envolve determinar para quais valores de $ p $ duas integrais impróprias se comportam de maneiras diferentes: uma converge e a outra diverge. Isso está relacionado ao tema de análise de convergência de integrais impróprias. Para resolver, precisamos entender como os expoentes das funções dentro das integrais afetam esse comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira integral:
integral1^infty 1x^2p + 15 , dx
Sabemos que a integral integral1^infty 1x^k , dx converge se $ k > 1 $ e diverge se $ k \leq 1 $. Aqui, o expoente é $ 2p + 15 $. Para que essa integral converja:
k > 1

Passo 3

Resolvendo a desigualdade:
2p + 15 > 1 2p > 1 - 15 2p > -14 p > -7
Então, para a primeira integral convergir, $ p $ deve ser maior que p .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral:
integral1^infty 1x^5p - 4 , dx
Usando a mesma regra, essa integral diverge se o expoente $ 5p - 4 \leq 1 $. Então:
5p - 4 <= 1

Passo 5

Resolvendo essa desigualdade:
5p - 4 <= 1 5p <= 1 + 4 5p <= 5 p <= 1
Então, para a segunda integral divergir, $ p $ deve ser menor ou igual a p .

Passo 6

Agora, juntando as duas condições que encontramos:
  1. $ p > -7 $ (para a primeira integral convergir)
  2. $ p \leq 1 $ (para a segunda integral divergir)
Isso significa que $ p $ deve satisfazer ambas as condições ao mesmo tempo. Ou seja:
p > -7

Resposta

O valor de $ p $ que satisfaz as duas condições é:
p

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