[Dois mínimos locais e nenhum máximo local]
Mostre que f(x, y)=e^4 y+2 x^4-4 x^2 e^y; possui dois mínimos locais e nenhum máximo local;

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a função f(x,y)=e{4y}+2x4–4x2ey tem exatamente dois mínimos locais e nenhum máximo local. O conteúdo aqui é extremização de funções de duas variáveis, e vamos precisar calcular derivadas parciais, resolver o sistema de pontos críticos e usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=8x^3-8x e^y=8x(x^2-e^y),
partial fpartial y=4e^4y-4x^2e^y=4e^y(e^3y-x^2)

Passo 3

Agora resolvemos o sistema partial f/partial x=0 e partial f/partial y=0:
  • De 8x(x^2-e^y)=0 vem ou x=0 ou x^2=e^y.
  • De 4e^y(e^3y-x^2)=0 e como e^y>0, vem x^2=e^3y.
    Se x=0, da segunda equação teríamos e^3y=0, impossível. Se x^2=e^y e x^2=e^3y, igualando dá e^y=e^3y e^2y=1 y=0 e então x^2=1, ou seja, os pontos críticos são (1,0) e (-1,0).

Passo 4

Para classificar, montamos a matriz Hessiana:
Hf=fxx&fxyfyx&fyy =24x^2-8e^y & -8x e^y-8x e^y & 16e^4y-4x^2e^y
Em (±1,0) temos e^y=1, x^2=1, logo
fxx=24-8=16, fyy=16-4=12, fxy=-8x=mp8
O determinante é De0 e fxx=16>0, então cada ponto é mínimo local.

Passo 5

Concluímos que f tem exatamente dois mínimos locais em (1,0) e (−1,0) e nenhum máximo local, pois não há outros pontos críticos.

Resposta

Os únicos pontos críticos são (1,0) e (−1,0), ambos são mínimos locais (Δ>0 e f_{xx}>0) e não existem máximos locais.

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