[Dois mínimos locais e nenhum máximo local]
Mostre que
; possui dois mínimos locais e nenhum máximo local;
Mostre que
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a função f(x,y)=e{4y}+2x4–4x2ey tem exatamente dois mínimos locais e nenhum máximo local. O conteúdo aqui é extremização de funções de duas variáveis, e vamos precisar calcular derivadas parciais, resolver o sistema de pontos críticos e usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de f:
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
e
:
- De
vem ou ou . - De
e como , vem .
Se, da segunda equação teríamos , impossível. Se e , igualando dá ⇒ ⇒ e então , ou seja, os pontos críticos são e .
Passo 4
Para classificar, montamos a matriz Hessiana:
Em
temos
,
, logo
O determinante é
e
, então cada ponto é mínimo local.
Passo 5
Concluímos que f tem exatamente dois mínimos locais em (1,0) e (−1,0) e nenhum máximo local, pois não há outros pontos críticos.
Resposta
Os únicos pontos críticos são (1,0) e (−1,0), ambos são mínimos locais (Δ>0 e f_{xx}>0) e não existem máximos locais.