Em cada caso, encontre pontos críticos
nos quais
e
; para através do Teste das derivadas parciais de
ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
definida para
. Nosso objetivo é achar os pontos em que as derivadas parciais de 1ª ordem se anulam (pontos críticos) e, em seguida, usar o teste das derivadas parciais de 2ª ordem (discriminante do Hessiano) para classificar cada ponto em máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem:
Para
, temos
Queremos resolver
e
.
Passo 3
Encontrar os pontos críticos:
Da equação
:
Da equação
:
Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de 2ª ordem e o discriminante do Hessiano:
As segundas derivadas são
O discriminante é
Passo 5
Classificação em
:
Avalia-se em
:
Como
e
, concluímos que
é um máximo local.
Resposta
Ponto crítico:
, que é um máximo local.