Em cada caso, encontre pontos críticos (x0, y0) nos quais fx(x0, y0)=0 e Fy(x0, y0)=0; para através do Teste das derivadas parciais de 2^a ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
f(x, y)=2 ln x+ln y-4 x-y ; x>0 e y>0 ;

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x,y)=2ln x + ln y - 4x - y definida para x>0, y>0. Nosso objetivo é achar os pontos em que as derivadas parciais de 1ª ordem se anulam (pontos críticos) e, em seguida, usar o teste das derivadas parciais de 2ª ordem (discriminante do Hessiano) para classificar cada ponto em máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem:
Para f(x,y)=2ln x + ln y - 4x - y, temos
fx(x,y)=2x-4,
fy(x,y)=1y-1
Queremos resolver fx=0 e fy=0.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos:
Da equação fx=0:
2x-4=0 implies 2x=4 implies x=24=tfrac12
Da equação fy=0:
1y-1=0 implies 1y=1 implies y=1
Logo, o único ponto crítico é (x0,y0)=(tfrac12,1).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de 2ª ordem e o discriminante do Hessiano:
As segundas derivadas são
fxx(x,y)=-2x^2,
fyy(x,y)=-1y^2,
fxy(x,y)=0
O discriminante é
D(x,y)=fxx(x,y),fyy(x,y)-(fxy(x,y))^2 = l(-2x^2r)l(-1y^2r)-0 = 2x^2y^2

Passo 5

Classificação em (tfrac12,1):
Avalia-se em x=tfrac12, y=1:
D=2(tfrac12)^2cdot1^2=2tfrac14=8>0,
fxxl(tfrac12,1r)=-2(tfrac12)^2=-8<0
Como D>0 e fxx<0, concluímos que (tfrac12,1) é um máximo local.

Resposta

Ponto crítico: (x0,y0)=(1/2,1), que é um máximo local.

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