Em cada caso, encontre pontos críticos
nos quais
e
; para através do Teste das derivadas parciais de
ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
;
Passo 1
A questão pede pra gente achar, em cada função, os pontos onde as derivadas parciais são nulas e depois usar o teste de segunda ordem (determinante da Hessiana) pra classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou sela.
Passo 2
Para f(x,y)=sen x+sen y, calculamos as derivadas parciais: fx=cos x e fy=cos y.
Para zerar fx e fy simultaneamente em [0,2π]×[0,2π], resolvemos cos x=0 e cos y=0, o que dá x=π/2 ou 3π/2 e y=π/2 ou 3π/2, totalizando 4 pontos: (π/2,π/2), (π/2,3π/2), (3π/2,π/2) e (3π/2,3π/2).
Para zerar fx e fy simultaneamente em [0,2π]×[0,2π], resolvemos cos x=0 e cos y=0, o que dá x=π/2 ou 3π/2 e y=π/2 ou 3π/2, totalizando 4 pontos: (π/2,π/2), (π/2,3π/2), (3π/2,π/2) e (3π/2,3π/2).
Passo 3
As segundas derivadas são fxx=−sen x, fyy=−sen y e fxy=0. O discriminante é D=fxx·fyy−fxy²=sin x·sin y.
Avaliando em cada ponto: em (π/2,π/2) temos D=1>0 e fxx=−1<0 ⇒ máximo local; em (3π/2,3π/2) D=1>0 e fxx=1>0 ⇒ mínimo local; nos outros dois, D=−1<0 ⇒ sela.
Avaliando em cada ponto: em (π/2,π/2) temos D=1>0 e fxx=−1<0 ⇒ máximo local; em (3π/2,3π/2) D=1>0 e fxx=1>0 ⇒ mínimo local; nos outros dois, D=−1<0 ⇒ sela.
Passo 4
Para f(x,y)=y sen x, as parciais são fx=y cos x e fy=sen x.
Igualando a zero: fy=0 dá x=0,π,2π; em seguida fx=0 exige y·cos x=0, mas como cos x≠0 nesses x, vem y=0. Logo os pontos críticos são (0,0), (π,0) e (2π,0).
Aqui fxx=−y sen x, fyy=0, fxy=cos x. O discriminante D= fxx·fyy−fxy²=−cos²x<0 em todos os pontos críticos, indicando que todos são pontos de sela.
Igualando a zero: fy=0 dá x=0,π,2π; em seguida fx=0 exige y·cos x=0, mas como cos x≠0 nesses x, vem y=0. Logo os pontos críticos são (0,0), (π,0) e (2π,0).
Aqui fxx=−y sen x, fyy=0, fxy=cos x. O discriminante D= fxx·fyy−fxy²=−cos²x<0 em todos os pontos críticos, indicando que todos são pontos de sela.
Resposta
Para f(x,y)=sen x+sen y: (π/2,π/2) é máximo local; (3π/2,3π/2) é mínimo local; (π/2,3π/2) e (3π/2,π/2) são pontos de sela.
Para f(x,y)=y sen x: os pontos críticos são (0,0), (π,0) e (2π,0), todos pontos de sela.
Para f(x,y)=y sen x: os pontos críticos são (0,0), (π,0) e (2π,0), todos pontos de sela.