Em cada caso, encontre pontos críticos (x0, y0) nos quais fx(x0, y0)=0 e Fy(x0, y0)=0; para através do Teste das derivadas parciais de 2^a ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
f(x, y)=e^x+y-x e^2 y;

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a função f(x,y)=e^x+y-x e^2y. O objetivo é encontrar os pontos críticos, ou seja onde fx=0 e fy=0, e depois usar o Teste de derivadas parciais de segunda ordem (Hessiano) para decidir se são mínimos, máximos ou sela.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x,y)=partialpartial xl(e^x+y-x e^2yr)=e^x+y-e^2y,
fy(x,y)=partialpartial yl(e^x+y-x e^2yr)=e^x+y-2x e^2y

Passo 3

Agora igualamos a zero e resolvemos o sistema:
e^x+y-e^2y=0implies e^x+y=e^2yimplies x+y=2yimplies x=y,
e^x+y-2x e^2y=0

Passo 4

Substituindo x=y na segunda equação:
e^2y-2y e^2y=0implies e^2y(1-2y)=0implies y=tfrac12,
e portanto x=tfrac12. O único ponto crítico é (tfrac12,tfrac12).

Passo 5

Agora vamos ao Teste de segunda ordem. Calculamos as derivadas segundas:
fxx=e^x+y, fyy=e^x+y-4x e^2y, fxy=e^x+y-2e^2y

Passo 6

O determinante do Hessiano é
D=fxxfyy-(fxy)^2

Passo 7

Avaliando em (tfrac12,tfrac12):
fxx=e, fyy=-e, fxy=-e,
portanto
D=ecdot(-e)-(-e)^2=-2e^2<0

Passo 8

Como D<0, concluímos que (tfrac12,tfrac12) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (1/2,1/2), e por ter determinante do Hessiano negativo, trata-se de um ponto de sela.

Exercícios relacionados