Em cada caso, encontre pontos críticos (x0, y0) nos quais fx(x0, y0)=0 e Fy(x0, y0)=0; para através do Teste das derivadas parciais de 2^a ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
F(x, y)=9-2 x+4 y-x^2-4 y^2;

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos de uma função de duas variáveis e classificá-los usando o teste de derivadas parciais de 2ª ordem. O conteúdo aqui é cálculo multivariável: vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem de F(x,y)=9-2x+4y-x^2-4y^2, igualá-las a zero para achar o ponto crítico, e depois usar as segundas derivadas para aplicar o teste de máximos, mínimos ou selas.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem. Para Fx temos:
Fx=partialpartial x(9-2x+4y-x^2-4y^2)=-2-2x
Igualando a zero:
-2-2x=0Longrightarrow x=-1
Para Fy temos:
Fy=partialpartial y(9-2x+4y-x^2-4y^2)=4-8y
Igualando a zero:
4-8y=0Longrightarrow y=tfrac12
Logo o único ponto crítico é (-1,,tfrac12).

Passo 3

Agora vamos às segundas derivadas. Temos:
Fxx=partialpartial x(-2-2x)=-2,
Fyy=partialpartial y(4-8y)=-8,
Fxy=partialpartial y(-2-2x)=0

Passo 4

Montamos o discriminante do teste de 2ª ordem (determinante do Hessiano):
D=FxxFyy-(Fxy)^2=(-2)(-8)-0=16
Como D>0 e Fxx=-2<0, concluímos que o ponto crítico é um máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é (-1,\tfrac12) e ele é um máximo local.

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