Em cada caso, encontre pontos críticos
nos quais
e
; para através do Teste das derivadas parciais de
ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos de uma função de duas variáveis e classificá-los usando o teste de derivadas parciais de 2ª ordem. O conteúdo aqui é cálculo multivariável: vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
, igualá-las a zero para achar o ponto crítico, e depois usar as segundas derivadas para aplicar o teste de máximos, mínimos ou selas.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem. Para
temos:
Igualando a zero:
Para
temos:
Igualando a zero:
Logo o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora vamos às segundas derivadas. Temos:
Passo 4
Montamos o discriminante do teste de 2ª ordem (determinante do Hessiano):
Como
e
, concluímos que o ponto crítico é um máximo local.
Resposta
O único ponto crítico é (-1,\tfrac12) e ele é um máximo local.