Em cada caso, encontre a série infinita que produz a sequência de somas parciais dada. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de somas parciais
Queremos (1) encontrar o termo geral
da série infinita
, (2) decidir se ela converge ou diverge e (3) se convergir, achar sua soma.
Passo 2
Pela definição de soma parcial temos, para
,
E para
vale
Passo 3
Calculemos
e
(
):
Passo 4
Portanto a série infinita é
Passo 5
Verificamos a convergência observando que
Como o limite das somas parciais existe finito, a série converge.
Passo 6
A soma da série é justamente
Resposta
A série é
Ela converge e sua soma é
.