Encontre os valores máximo/mínimo locais a absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=x e^-x / 8, em [0,20].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais e globais da função
f(x)=x,e^-x/8
no intervalo [0,20].
O conteúdo envolvido é cálculo de derivada para achar pontos críticos e comparação de valores nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calcular a derivada f'(x) usando o produto u=x e v=e^-x/8:
f'(x)=u',v+u,v' =1cdot e^-x/8+xcdotl(-tfrac18 e^-x/8r) =e^-x/8l(1-tfrac x8r)
Os pontos críticos surgem de f'(x)=0, isto é,
e^-x/8l(1-tfrac x8r)=0 ;Longrightarrow; 1-tfrac x8=0 ;Longrightarrow; x=8

Passo 3

Determinar o comportamento de f' em torno de x=8:
  • Para 0<x<8: 1-tfrac x8>0 e e^-x/8>0, logo f'(x)>0 (função crescente).
  • Para 8<x<20: 1-tfrac x8<0 e e^-x/8>0, logo f'(x)<0 (função decrescente).
    Portanto, em x=8 há um pico (máximo local).
Nos extremos x=0 e x=20, como lado interno em 0 a derivada é positiva ( f'(0)=1) e em 20 a derivada é negativa ( f'(20)<0), cada um desses pontos é um mínimo local de fronteira.

Passo 4

Avaliar f em x=0, x=8 e x=20:
f(0)=0cdot e^0=0,
f(8)=8,e^-8/8=8,e^-1=8eapprox2,94,
f(20)=20,e^-20/8=20,e^-2,5approx1,64

Passo 5

Comparando os valores:
  • O maior valor ocorre em x=8, f(8)=8/e, portanto é o máximo global (e local).
  • O menor valor do conjunto f(0),f(8),f(20) é f(0)=0, logo é o mínimo global.
  • Há mínimos locais nas fronteiras x=0 e x=20, mas o absoluto é em x=0.

Resposta

Máximo local e global:
x=8, f(8)=8e
Mínimos locais:
x=0,;f(0)=0 e x=20,;f(20)=20e^-2,5approx1,64
Mínimo global:
x=0, f(0)=0

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