Encontre os valores máximo/mínimo locais a absolutos de
no intervalo dado.
, em
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais e globais da função
no intervalo
.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivada para achar pontos críticos e comparação de valores nesses pontos e nos extremos do intervalo.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivada para achar pontos críticos e comparação de valores nesses pontos e nos extremos do intervalo.
Passo 2
Calcular a derivada
usando o produto
e
:
Os pontos críticos surgem de
, isto é,
Passo 3
Determinar o comportamento de
em torno de
:
- Para
: e , logo (função crescente). - Para
: e , logo (função decrescente).
Portanto, emhá um pico (máximo local).
Nos extremos
e
, como lado interno em
a derivada é positiva (
) e em
a derivada é negativa (
), cada um desses pontos é um mínimo local de fronteira.
Passo 4
Avaliar
em
,
e
:
Passo 5
Comparando os valores:
- O maior valor ocorre em
, , portanto é o máximo global (e local). - O menor valor do conjunto
é , logo é o mínimo global. - Há mínimos locais nas fronteiras
e , mas o absoluto é em .
Resposta
Máximo local e global:
Mínimos locais:
e
Mínimo global: