Encontre os valores máximo/mínimo locais a absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=3 x^2-6 x^2+5, em [-3,5].

Passo 1

O enunciado pede os extremos local e absolutos de
f(x)=3x^2-6x^2+5
no intervalo [-3,5]. Primeiro vamos simplificar a expressão e depois usar derivadas para achar pontos críticos (candidatos a extremos locais) e avaliar também os valores nos extremos do intervalo para identificar os extremos absolutos.

Passo 2

Simplificando f:
f(x)=3x^2-6x^2+5 = -3x^2+5
Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos:
f'(x)=ddxl(-3x^2+5r)=-6x
Resolvendo f'(x)=0
-6x=0 Longrightarrow x=0

Passo 3

Para classificar x=0 usamos a segunda derivada:
f''(x)=ddx(-6x)=-6<0
como f''(0)<0, em x=0 temos um máximo local (concavidade para baixo).

Passo 4

Agora avaliamos f no ponto crítico e nos extremos do intervalo:
f(0)=-3cdot0^2+5=5,
f(-3)=-3cdot(-3)^2+5=-3cdot9+5=-27+5=-22,
f(5)=-3cdot5^2+5=-3cdot25+5=-75+5=-70

Passo 5

Comparando os valores:
  • O maior valor é f(0)=5: é máximo local e também máximo absoluto no intervalo.
  • O menor valor é f(5)=-70: é mínimo absoluto no intervalo.
    Não há mínimo local em ponto interior além dos extremos do intervalo.

Resposta

Local máximo: em x=0 com f(0)=5.
Máximo absoluto: em x=0 com f(0)=5.
Mínimo absoluto: em x=5 com f(5)=-70.

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