Em cada caso, encontre todas as raízes em coordenadas retangulares, exiba-as como vértices de certos polígonos regulares e identifique a raiz principal.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as seis raízes complexas de 8, escrevê-las em coordenadas retangulares, mostrar que são vértices de um polígono regular e indicar a raiz principal. O conteúdo envolve raízes n-ésimas de números complexos, forma polar e conversão para retangulares.
Passo 2
Escrevemos 8 na forma polar. Como 8 é real e positivo, temos
Passo 3
Para achar as raízes sextas, calculamos o módulo e o argumento gerais. O módulo será
e o argumento geral é
Passo 4
Assim as seis raízes são
para
. Convertemos cada uma para retangulares:
Em coordenadas retangulares temos então
Em coordenadas retangulares temos então
Passo 5
Observamos que esses pontos estão igualmente espaçados ao redor da origem a uma distância
, formando os vértices de um hexágono regular de raio
.
Passo 6
A raiz principal é aquela com menor argumento (ou argumento nulo), ou seja
.
Resposta
As seis raízes são:
Elas formam os vértices de um hexágono regular de raio
centrado na origem. A raiz principal é
.