Em cada caso, encontre todas as raízes em coordenadas retangulares, exiba-as como vértices de certos polígonos regulares e identifique a raiz principal.
8^1 / 6.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as seis raízes complexas de 8, escrevê-las em coordenadas retangulares, mostrar que são vértices de um polígono regular e indicar a raiz principal. O conteúdo envolve raízes n-ésimas de números complexos, forma polar e conversão para retangulares.

Passo 2

Escrevemos 8 na forma polar. Como 8 é real e positivo, temos
8 = 8 e^i0

Passo 3

Para achar as raízes sextas, calculamos o módulo e o argumento gerais. O módulo será
|z| = 8^1/6 = (2^3)^1/6 = 2^1/2 = raiz2,
e o argumento geral é
thetak = 0 + 2pi k6 = kpi3, k=0,1,2,3,4,5

Passo 4

Assim as seis raízes são
zk = raiz2,e^i kpi/3 = raiz2l(cos(kpi/3) + isin(kpi/3)r),
para k=0,1,2,3,4,5. Convertemos cada uma para retangulares:
Em coordenadas retangulares temos então
z0 = raiz2,
z1 = tfracraiz22 + itfracraiz62,
z2 = -tfracraiz22 + itfracraiz62,
z3 = -raiz2,
z4 = -tfracraiz22 - itfracraiz62,
z5 = tfracraiz22 - itfracraiz62

Passo 5

Observamos que esses pontos estão igualmente espaçados ao redor da origem a uma distância raiz2, formando os vértices de um hexágono regular de raio raiz2.

Passo 6

A raiz principal é aquela com menor argumento (ou argumento nulo), ou seja z0 = raiz2.

Resposta

As seis raízes são:
raiz2, tfracraiz22+itfracraiz62, -tfracraiz22+itfracraiz62, -raiz2, -tfracraiz22-itfracraiz62, tfracraiz22-itfracraiz62 Elas formam os vértices de um hexágono regular de raio raiz2 centrado na origem. A raiz principal é raiz2.

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