Determine a solução geral para a EDO y^prime=yx+raiz1-(yx)^2, x>0.

Passo 1

A EDO dada é y'=yx+raiz1-(y/x)^2 para x>0. Isso é uma equação de primeira ordem homogênea, porque o termo à direita depende apenas de y/x. Para resolver, vamos usar a substituição u=y/x e lembrar que y'=u+x,du/dx. Em seguida veremos que a equação se torna separável.

Passo 2

Fazendo u=y/x e usando y'=u+x,du/dx, substituímos na EDO original:
nu + xdudx = u + raiz1-u^2
Cancelando o u dos dois lados, obtemos
xdudx = raiz1-u^2

Passo 3

Agora separamos as variáveis colocando todos os u de um lado e x do outro:
duraiz1-u^2 = dxx

Passo 4

Integrando ambos os lados, sabemos que
integral duraiz1-u^2 = arcsin(u) + C1, integral dxx = ln x + C2
Reagrupando as constantes numa só C, fica
arcsin(u) = ln x + C

Passo 5

Aplicando seno em ambos os lados, achamos u=sin(ln x + C). Voltando a y pela definição u=y/x,
y = xsin(ln x + C)

Resposta

A solução geral é y(x)=xsin(ln x + C), com constante arbitrária C.

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