Em cada caso, encontre o valor de c para que f seja contínua em seu domínio:
f(x)=craizx^2+x+1-raiz34 x^2+x-5, x>1 c , x <= 1

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de c que torna a função f contínua em x=1. A função é dada por
f(x)= dfracraizx^2+x+1-raiz34x^2+x-5, & x>1, c,& x<=1
O conteúdo envolvido é continuidade de função em ponto e cálculo de limite de forma indeterminada.

Passo 2

Para que f seja contínua em x=1, precisamos que
limxto1^+f(x)=f(1)=c
Então vamos calcular limxto1^+dfracraizx^2+x+1-raiz34x^2+x-5.

Passo 3

Note que ao substituir x=1 diretamente temos uma indeterminação 0/0, pois
raiz1+1+1-raiz3=0 e 4+1-5=0. Para resolver, vamos racionalizar o numerador multiplicando por seu conjugado.

Passo 4

Multiplicando numerador e denominador por
raizx^2+x+1+raiz3,
obtemos
$$\frac{(\sqrt{x{2}+x+1}-\sqrt{3})(\sqrt{x{2}+x+1}+\sqrt{3})}{(4x{2}+x-5)(\sqrt{x{2}+x+1}+\sqrt{3})}
=\frac{x{2}+x+1-3}{(4x{2}+x-5)(\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3})}
=\frac{x{2}+x-2}{(4x{2}+x-5)(\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3})}.$$

Passo 5

Fatorando o numerador x^2+x-2=(x-1)(x+2) e o denominador 4x^2+x-5=4(x-1)(x+5/4), cancelamos o fator x-1:
f(x)=x+24,(x+5/4),(raizx^2+x+1+raiz3), x>1

Passo 6

Agora a expressão está sem indeterminação em x=1, então
limxto1^+f(x)=1+24(1+5/4)(raiz3+raiz3) =34cdot(9/4)cdot2raiz3 =39cdot2raiz3 =16raiz3
Portanto, para continuidade, deve-se ter c=tfrac16raiz3.

Resposta

c= 16raiz3

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