Verifique se a sequência converge ou diverge
Sn=sumk=1^+infty 1k^k raizk (3.2, 1.j, p. 54)

Passo 1

Estamos analisando a série sumk=1^infty 1k^kraizk. Este problema faz parte de testes de convergência de séries numéricas e para resolvê-lo vamos usar o critério da razão, que compara limktoinfty ak+1ak com 1.

Passo 2

Chamamos ak = 1k^kraizk. O critério da razão diz que se limktoinftyak+1ak = L < 1 então a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculamos
ak+1ak = 1(k+1)^k+1raizk+11k^kraizk = k^kraizk(k+1)^k+1raizk+1 = (kk+1)^k cdot raizk(k+1)raizk+1

Passo 4

Usando (kk+1)^k=(1-tfrac1k+1)^kto e^-1 e raizk(k+1)raizk+1simtfrac1k, concluímos que
limktoinftyak+1ak = e^-1cdot0 = 0 < 1

Resposta

Converge absolutamente pelo critério da razão.

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