Estude a continuidade da seguinte função:
f(x)=x^3+3 x+7x^2-6 x+8

Passo 1

O enunciado apresenta a função racional f(x)=x^3+3x+7x^2-6x+8. O objetivo é estudar onde ela é contínua, ou seja, para quais x a função está definida e satisfaz a definição de continuidade.

Passo 2

Funções racionais são contínuas em todos os pontos do seu domínio, então precisamos encontrar onde o denominador se anula para excluir esses pontos.

Passo 3

Determinar as raízes do denominador resolvendo
x^2-6x+8=0

Passo 4

Fatorando o polinômio do denominador:
x^2-6x+8=(x-2)(x-4)

Passo 5

Logo as raízes são x=2 e x=4. Esses valores não pertencem ao domínio de f.

Passo 6

Verificar se há cancelamento de fatores com o numerador avaliando-o em x=2 e x=4:
n(2)=2^3+3cdot2+7=8+6+7=21neq0,

Passo 7

n(4)=4^3+3cdot4+7=64+12+7=83neq0

Passo 8

Como o numerador não zera nesses pontos, não houve cancelamento e as descontinuidades são do tipo infinita (assíntotas verticais) em x=2 e x=4.

Resposta

A função é contínua em Rsetminus2,4, ou seja, nos intervalos (−infty,2), (2,4) e (4,infty). As descontinuidades em x=2 e x=4 são do tipo infinita.

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