Em cada caso, encontre o valor de c para que f seja contínua em seu domínio: f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2}-4 x+3}{x-3}, & x \neq 3 \\\ c, & x=3\end{array}\right.
e pede: encontre o valor de c para que f seja contínua em seu domínio.\n
Informações relevantes: a expressão racional \dfrac{x^{2}-4x+3}{x-3} está definida para x\neq 3; no ponto x=3 a função vale c. Queremos que não haja “quebra” em x=3.]
Passo 2
O que significa "ser contínua em x=3"? Vou explicar devagarinho. Uma função f é contínua em x=3 se, e somente se, os três itens abaixo ocorrerem simultaneamente:
f(3) está definido (aqui isso significa que c existe);
\displaystyle\lim_{x\to 3} f(x) existe;
\displaystyle\lim_{x\to 3} f(x)=f(3).
Portanto, para que f seja contínua em x=3 precisamos escolher c igual ao valor do limite \displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-4x+3}{x-3}, desde que esse limite exista.
Passo 3
Vamos calcular o limite. Primeiro simplificamos a expressão algébrica. Note que o numerador é um polinômio que pode ser fatorado:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Substituímos isso na fração (essa fatoração é obtida procurando dois números cujo produto seja 3 e soma -4: são -1 e -3, daí os fatores (x-1) e (x-3)).
Passo 4
Agora a fração para x\neq 3 fica
\frac{x^{2}-4x+3}{x-3}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-3}.
Como estamos na parte x\neq 3, podemos cancelar o fator (x-3), obtendo
Então, o limite quando x\to 3 é o mesmo que o limite de x-1 quando x\to 3.
Passo 5
Como x-1 é um polinômio (função contínua em todo lugar), podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x=3:
\lim_{x\to 3}\bigl(x-1\bigr)=3-1=2.
Portanto o limite \displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-4x+3}{x-3} existe e vale 2. Para que a função seja contínua em x=3 devemos ter f(3)=c igual a esse limite, ou seja, c=2. Isso corrige a descontinuidade removendo o “buraco” em x=3.