Esboce o gráfico de f(x)=\left\{\begin{array}{cl}3-x & , x<1 \\\\ 4 & , x=1 \\\ x^{2}+1 & , x>1\end{array}\right.. Ache \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x) : \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 1} f(x).
A função é contínua em x=1 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá a função por partes. As perguntas são:
  1. Esboçar o gráfico de [f(x)).
  2. Calcular \lim_{x\to1^-} f(x), \lim_{x\to1^+} f(x) e \lim_{x\to1} f(x).
  3. Dizer se a função é contínua em x=1 e justificar.
As informações que o enunciado dá são a definição por partes da função:
f(x)=\begin{cases} 3-x, & x<1,\\[4pt] 4, & x=1,\\[4pt] x^{2}+1, & x>1. \end{cases}
Também temos o valor explícito em x=1\], que é \(f(1)=4. Nada mais foi dado.]

Passo 2

Entendendo o que é \lim_{x\to1^-} f(x): isso significa o valor que f(x) se aproxima quando x vem da esquerda de 1 (ou seja, x<1). Para x<1 a função é dada por 3-x. Funções lineares são contínuas onde estão definidas, então para computar a limite vindo da esquerda podemos simplesmente substituir x por 1 na expressão 3-x.
Calculemos:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} (3-x)=3-1=2.
Então o limite pela esquerda é \,2.

Passo 3

Explicando \lim_{x\to1^+} f(x): isso significa o valor que f(x) se aproxima quando x vem da direita de 1 (ou seja, x>1). Para x>1 a função é x^{2}+1. Polinômios também são contínuos onde estão definidos, então podemos substituir x=1 na expressão x^{2}+1.
Calculemos:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (x^{2}+1)=1^{2}+1=2.
Portanto o limite pela direita também é \,2.

Passo 4

Comparando os limites laterais: encontramos
\lim_{x\to1^-} f(x)=2\quad\text{e}\quad\lim_{x\to1^+} f(x)=2.
Quando os dois limites laterais existem e são iguais, o limite total existe e é esse valor comum. Logo
\lim_{x\to1} f(x)=2.

Passo 5

Agora verifiquemos continuidade em x=1. A definição prática de continuidade em um ponto a é: a função é contínua em a se (i) \lim_{x\to a} f(x) existe e (ii) \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Aplicando isso ao nosso caso a=1:
  • Já vimos que \lim_{x\to1} f(x)=2 (condição (i) satisfeita).
  • O valor da função em 1 é f(1)=4 (isso vem diretamente da definição por partes).
Como 2\neq4, a condição (ii) não é satisfeita. Logo a função não é contínua em x=1.
Observação sobre o tipo de descontinuidade: aqui o limite existe mas o valor da função é diferente do limite — isso é chamado de descontinuidade “removível” porque se redefiníssemos f(1)=2 a função ficaria contínua em 1.

Passo 6

Instruções para esboçar o gráfico (passo a passo prático, tipo “na prova faça assim”):
  1. Ramo para x<1: desenhe a reta y=3-x. É uma reta com coeficiente angular -1 e intercepto y-em 3. Para marcar alguns pontos: quando x=0 tem y=3; quando x\to1^- a reta se aproxima de y=2. No ponto x=1 esse ramo NÃO inclui o ponto (1,2), então marque um círculo aberto em (1,2).
  2. Valor em x=1: coloque um ponto cheio em (1,4), porque f(1)=4.
  3. Ramo para x>1: desenhe a parábola y=x^{2}+1 apenas para x>1. Essa parábola passa por (1,2) quando x=1 mas, como a definição é somente para x>1, o ponto (1,2) também é um círculo aberto (o mesmo aberto que já marcamos para a reta). Para ter ideia de forma da parábola, quando x=2 temos y=5; perto de 1 a parábola sobe suavemente a partir de 2.
  4. Resultado visual: dois ramos que se encontram (em valor limite) em y=2 com um buraco (círculo aberto) em (1,2), e um ponto isolado em (1,4). Isso mostra claramente a descontinuidade removível (buraco) com o ponto cheio deslocado para cima.
Dica prática para desenhar rápido: faça o esboço dos dois ramos separadamente, marque os círculos abertos em (1,2), e em seguida acrescente o ponto fechado em (1,4). Respira, tá ficando bonito — já era!

Resposta

\lim_{x\to1^-} f(x)=2
\lim_{x\to1^+} f(x)=2
\lim_{x\to1} f(x)=2
A função não é contínua em x=1.

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