Em cada caso esboce o conjunto X do plano \mathbb{R}^{2} e determine sua fronteira. Classifique X em: aberto, fechado, limitado, compacto.
X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0<x\right. e \left.1 \leq y \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro esboçar no plano \mathbb{R}^2 o conjunto X dado e, em seguida, determinar a fronteira (o conjunto das fronteiras) de X. Depois disso, classificar X quanto a ser aberto, fechado, limitado e compacto.
As informações do enunciado (já as peguei do próprio enunciado) são:
  • X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0<x \text{ e } 1\le y\le 2\}.
  • Ou seja: a condição em x é 0<x (estritamente à direita do eixo y) e a condição em y é 1\le y\le 2 (entre as retas horizontais y=1 e y=2, inclusive).

Passo 2

Esboço e descrição geométrica do conjunto X.
  • Desenhe as duas retas horizontais y=1 e y=2.
  • Desenhe o eixo vertical x=0 (o eixo y).
  • O conjunto X é a faixa no plano entre as retas y=1 e y=2 (essas retas fazem parte de X, porque 1\le y\le2), porém apenas a parte dessa faixa que está estritamente à direita do eixo x=0 (porque 0<x).
  • No esboço: pinte/sombreie a região entre y=1 e y=2 para x>0. As horizontais y=1 e y=2 devem ser desenhadas sólidas (porque são incluídas). A reta vertical x=0 deve ser mostrada como fronteira vertical à esquerda do conjunto, mas não pertence a X (por isso normalmente a marcaria como tracejada ou com a região à direita sombreada e a própria linha x=0 não sombreada).
Visualmente: uma faixa horizontal sem fim à direita, com altura entre y=1 e y=2, incluindo as bordas superior e inferior, e cortada à esquerda pelo eixo x=0 (esse corte é excluído).

Passo 3

Encontrar o interior de X (definição e cálculo).
  • Definição (em palavras amigas): um ponto (x_0,y_0) pertence ao interior de X se existe uma pequena bola aberta centrada em (x_0,y_0) que esteja totalmente contida em X. Em \mathbb{R}^2 uma “bola” é um disco de raio r>0.
  • Vamos testar quais pontos têm essa propriedade.
Considere um ponto (x_0,y_0)\in X com x_0>0 e 1\le y_0\le 2.
  1. Se 1<y_0<2 e x_0>0, então podemos escolher um raio pequeno que evite tanto a borda horizontal quanto o eixo x=0. Uma escolha típica do raio é
r=\min\!\left(\frac{x_0}{2},\frac{y_0-1}{2},\frac{2-y_0}{2}\right).
Esse r>0 e garante que o disco de raio r centrado em (x_0,y_0) não cruza x=0 (porque r\le x_0/2) e fica estritamente entre y=1 e y=2 (porque r\le (y_0-1)/2 e r\le (2-y_0)/2). Logo todo ponto com x>0 e 1<y<2 é interior.
  1. Se y_0=1 (ou y_0=2) e x_0>0, qualquer disco aberto centrado em (x_0,y_0) contém pontos com y<1 (ou y>2), logo esse disco não fica todo em X. Portanto pontos com y=1 ou y=2 não são pontos interiores, mesmo que x_0>0.
  2. Se x_0 tende a 0 (qualquer ponto com x_0=0 não está em X pois X exige x>0), então claramente não é ponto de X.
Conclusão do interior:
\operatorname{int}(X)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x>0,\\\ 1<y<2\}.
Em palavras: a mesma faixa, mas sem as duas linhas horizontais y=1 e y=2.

Passo 4

Encontrar a aderência (fecho) de X e explicar por que.
  • Definição rápida e prática: a aderência \overline{X} é o conjunto de todos os pontos que são limites de sequências em X, ou equivalentemente, todo ponto tal que qualquer disco em torno dele intersecta X.
  • Observação: qualquer ponto com x>0 e 1\le y\le 2 já está em X, então está na aderência. Além disso, pontos na linha x=0 com 1\le y\le2 são limites de uma sequência de pontos de X (por exemplo (1/n,y) com n\to\infty), portanto pertencem à aderência embora não pertençam a X.
  • Se um ponto tem y<1 (ou y>2), existe uma bola em torno dele que não intersecta X (porque a distância vertical até o intervalo [1,2] é positiva), então tal ponto não pertence à aderência. Se um ponto tem x<0, também existe uma bola que evita X. Assim não entram na aderência.
Logo a aderência é exatamente
\overline{X}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\\\ 1\le y\le 2\}.
Em palavras: a faixa entre y=1 e y=2 incluída, e incluindo também a fronteira vertical x=0 entre esses y.

Passo 5

Determinar a fronteira \partial X usando \partial X=\overline{X}\setminus\operatorname{int}(X).
  • Já temos \overline{X}=\{(x,y)\mid x\ge 0,\\\ 1\le y\le 2\}.
  • Já temos \operatorname{int}(X)=\{(x,y)\mid x>0,\\\ 1<y<2\}.
Subtraindo,
\partial X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\\ y\in\{1,2\}\}\\ \cup\\ \{(0,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1\le y\le 2\}.
Interpretação geométrica da fronteira:
  • as duas semirretas horizontais (ou melhor, dois “raios” horizontais) ao longo de y=1 e y=2 para x\ge 0 — essas são as bordas superior e inferior da faixa, estendendo-se para a direita indefinidamente, e com x=0 incluído nesses raios; e
  • a faixa vertical ao longo de x=0 entre y=1 e y=2 — ou seja, o segmento vertical fechado que fecha a esquerda da região.
Esses três pedaços se juntam em dois pontos de canto (0,1) e (0,2).

Passo 6

Classificação: aberto? fechado?
  • Aberto: um conjunto é aberto se todos os seus pontos são pontos interiores. Aqui já vimos que pontos com y=1 ou y=2 pertencem a X mas não são interiores. Portanto X não é aberto.
  • Fechado: um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos-limite (equivalente a conter sua aderência). Como (0,1) por exemplo é um ponto-limite de X (sequência (1/n,1)\to(0,1)) mas (0,1)\notin X (porque exige-se x>0), então X não contém todos os seus pontos-limite. Logo X não é fechado.
Resumo: X não é aberto e não é fechado.

Passo 7

Classificação: limitado? compacto?
  • Limitado: um subconjunto de \mathbb{R}^2 é limitado se existe M>0 tal que \sqrt{x^2+y^2}\le M para todo (x,y) do conjunto. No nosso caso x pode ser arbitrariamente grande (por exemplo (n,1{,}5)\in X para todo n\in\mathbb{N}), logo X é ilimitado (não é limitado).
  • Compacto: no \mathbb{R}^2 o teorema de Heine–Borel diz que um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado. Como X não é fechado e nem limitado, não é compacto.

Passo 8

Recapitulando de forma prática (resumo dos conjuntos importantes, útil para provar ou lembrar na prova):
  • Interior: \operatorname{int}(X)=\{(x,y)\mid x>0,\\\ 1<y<2\}.
  • Aderência: \overline{X}=\{(x,y)\mid x\ge 0,\\\ 1\le y\le 2\}.
  • Fronteira: \partial X=\overline{X}\setminus\operatorname{int}(X), explicitamente \partial X=\{(x,y)\mid x\ge 0,\\ y\in\{1,2\}\}\\ \cup\\ \{(0,y)\mid 1\le y\le 2\}.
  • Classificação: X não é aberto, não é fechado, não é limitado, não é compacto.

Resposta

\operatorname{int}(X)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0,\\\ 1<y<2\}
\overline{X}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\\\ 1\le y\le 2\}
\partial X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\\ y\in\{1,2\}\}\\ \cup\\ \{(0,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1\le y\le 2\}
X não é aberto
X não é fechado
X não é limitado
X não é compacto

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