Em cada caso esboce o conjunto X do plano \mathbb{R}^{2} e determine sua fronteira. Classifique X em: aberto, fechado, limitado, compacto.
X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 4 x^{2}+y^{2} \geq 9\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 4x^{2}+y^{2}\ge 9\}.
O que é pedido:
  • Esboçar o conjunto X no plano.
  • Determinar a fronteira de X.
  • Classificar X quanto a ser aberto, fechado, limitado e compacto.
Informações relevantes fornecidas:
  • A desigualdade que define X é 4x^{2}+y^{2}\ge 9.
  • A igualdade correspondente 4x^{2}+y^{2}=9 é uma curva do tipo elipse.

Passo 2

Entender a curva de igualdade: escrever a equação da elipse numa forma padrão.
4x^{2}+y^{2}=9 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{9/4}+\frac{y^{2}}{9}=1.
Daí os semi-eixos:
  • semi-eixo ao longo de x: a=\sqrt{9/4}=\tfrac{3}{2},
  • semi-eixo ao longo de y: b=\sqrt{9}=3.
Interpretação geométrica: a curva \{(x,y):4x^{2}+y^{2}=9\} é uma elipse centrada na origem, mais “achatada” no eixo x (máximo em x=\pm\tfrac{3}{2}) e mais alongada no eixo y (máximo em y=\pm 3).

Passo 3

Descrever o conjunto X geometricamente (esboço verbal).
  • A condição 4x^{2}+y^{2}\ge 9 significa que estamos considerando todos os pontos que estão na elipse ou fora dela (no sentido de aumentar a quantidade 4x^{2}+y^{2}).
  • Logo, X é a região externa à elipse, incluindo a própria elipse como “borda”.
    Para esboçar: desenhe a elipse com semi-eixos \tfrac{3}{2} (horizontal) e 3 (vertical). Sombras ou pinte a região fora dessa elipse, mantendo a própria curva como parte do conjunto.

Passo 4

Determinar o interior de X.
Definição usada: o interior de um conjunto são os pontos que têm alguma bola aberta centrada neles inteira contida no conjunto.
Considere a função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=4x^{2}+y^{2}.
Observações:
  • f é contínua (polinômio em x,y).
  • Então f^{-1}((9,\infty)) é um conjunto aberto (pré-imagem de um aberto por função contínua).
    Note que
\{(x,y):4x^{2}+y^{2}>9\}=f^{-1}((9,\infty))
é exatamente a parte estritamente externa à elipse; esses pontos têm uma pequena vizinhança totalmente fora da elipse. Portanto o interior de X é
\operatorname{int}(X)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 4x^{2}+y^{2}>9\}.

Passo 5

Determinar o fecho (fechamento) de X e mostrar que X é fechado.
Usando novamente f contínua, a pré-imagem de um fechado é fechado. O conjunto [9,\infty) é fechado em \mathbb{R}, logo
X=f^{-1}([9,\infty))
é fechado. Assim o fecho de X é ele mesmo:
\overline{X}=X=\{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}\ge 9\}.

Passo 6

Determinar a fronteira de X.
Por definição a fronteira \partial X é \overline{X}\setminus\operatorname{int}(X). Como \overline{X}=X e \operatorname{int}(X)=\{4x^{2}+y^{2}>9\}, obtemos
\partial X = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 4x^{2}+y^{2}=9\}.
Interpretação: a fronteira é exatamente a elipse de equação 4x^{2}+y^{2}=9.
Complemento da demonstração com argumento de vizinhança (intuição rigorosa): se (x_{0},y_{0}) satisfaz 4x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=9, então para qualquer raio r>0 a bola B_{r}(x_{0},y_{0}) contém pontos com 4x^{2}+y^{2}>9 (um pouco “para fora”) e pontos com 4x^{2}+y^{2}<9 (um pouco “para dentro”), logo todo entorno intersecta tanto X quanto seu complemento — característica de um ponto de fronteira.

Passo 7

Classificar X quanto a aberto / fechado.
  • Aberto? Não. Porque pontos com 4x^{2}+y^{2}=9 pertencem a X mas não têm nenhuma bola totalmente contida em X. Logo X não é aberto.
  • Fechado? Sim. Já foi mostrado que X=f^{-1}([9,\infty)) com f contínua e [9,\infty) fechado, então X é fechado.

Passo 8

Classificar X quanto a limitado / compacto.
  • Limitado (bounded)? Não. Exemplo simples: pontos (t,0) com |t|\ge \tfrac{3}{2} satisfazem 4t^{2}+0\ge 9, e à medida que t\to\infty a distância ao origem cresce sem limite. Portanto X não é limitado.
  • Compacto? Em \mathbb{R}^{2} um conjunto é compacto se e só se for fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel). Aqui X é fechado mas não é limitado, então não é compacto.

Passo 9

Resumo final (para conferir rápido):
  • Esboço: região externa à elipse \dfrac{x^{2}}{9/4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1, incluindo a própria elipse.
  • Fronteira: a elipse \{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}=9\}.
  • Aberto: não.
  • Fechado: sim.
  • Limitado: não.
  • Compacto: não.

Resposta

Esboço: a região externa à elipse \dfrac{x^{2}}{9/4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1, incluindo a elipse.
Fronteira: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 4x^{2}+y^{2}=9\}.
Aberto: Não.
Fechado: Sim.
Limitado: Não.
Compacto: Não.

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