Em cada caso, esboce e determine a equação da reta que satisfaz às propriedades dadas.
Passa pelo ponto (1,2) e é perpendicular à reta 3 x-y=4.

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes e pede uma coisa:
  • Informação 1: a reta procurada passa pelo ponto (1,2).
  • Informação 2: a reta procurada é perpendicular à reta dada pela equação 3x - y = 4.
  • Pedido: esboçar a reta e determinar sua equação (ou seja, escrever a fórmula da reta).

Passo 2

Vamos extrair a inclinação (o “declive” ou “slope”) da reta dada 3x - y = 4. Para isso, resolvemos para y em função de x:
3x - y = 4
-y = 4 - 3x
y = 3x - 4.
Aqui, a forma y = mx + b mostra que a inclinação da reta dada é m_1 = 3. Explicando rápido: a inclinação m significa que, ao mover 1 unidade para a direita em x, a reta sobe m unidades em y.

Passo 3

Agora precisamos da inclinação da reta perpendicular. Para duas retas não-verticais com inclinações m_1 e m_2, elas são perpendiculares se, e somente se,
m_1 m_2 = -1.
Intuição curta: inclinações são tangentes de ângulos; girar 90^\circ transforma a tangente em seu negativo recíproco. Assim, com m_1 = 3, a inclinação da reta perpendicular é
m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{3}.

Passo 4

Agora usamos a forma ponto-inclinação da equação de reta. A fórmula é:
y - y_0 = m (x - x_0),
onde (x_0,y_0) é um ponto conhecido da reta e m é a inclinação. Neste problema temos (x_0,y_0)=(1,2) e m=-\dfrac{1}{3}. Substituindo:
y - 2 = -\frac{1}{3}\bigl(x - 1\bigr).

Passo 5

Vamos simplificar a equação anterior para formas mais usuais. Primeiro expandir o lado direito:
y - 2 = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}.
Agora isolamos y:
y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} + 2.
Como 2 = \frac{6}{3}, somamos as frações:
y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}.
Essa é a forma reduzida (forma \,y=mx+b) da reta procurada. Um jeito alternativo e frequentemente preferido é escrever em forma padrão com coeficientes inteiros: multiplicando ambos os lados por 3,
3y = -x + 7
e rearranjando,
x + 3y = 7.

Passo 6

Conferência rápida (checagem): verificar que o ponto (1,2) satisfaz a equação x+3y=7:
1 + 3\cdot 2 = 1 + 6 = 7,
ok. Verificar que as inclinações se anulam no produto: 3 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = -1, logo as retas são de fato perpendiculares.

Passo 7

Instruções para esboçar (rápido e prático para a prova):
  • Desenhe dois eixos x e y.
  • Trace a reta y = 3x - 4: seu coeficiente linear é -4 (corta o eixo y em (0,-4)) e sobe 3 para cada 1 que anda para a direita.
  • Marque o ponto (1,2).
  • A reta procurada tem inclinação -\tfrac{1}{3} e intercepto \tfrac{7}{3} (corta o eixo y em (0,\tfrac{7}{3})). Passe uma reta por (1,2) com esse declive; ela ficará visivelmente perpendicular à primeira reta.

Resposta

y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}
x + 3y = 7

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