Em cada caso, esboce e determine a equação da reta que satisfaz às propriedades dadas.
Passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
.
Passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado dá duas informações importantes e pede uma coisa:
- Informação 1: a reta procurada passa pelo ponto
. - Informação 2: a reta procurada é perpendicular à reta dada pela equação
. - Pedido: esboçar a reta e determinar sua equação (ou seja, escrever a fórmula da reta).
Passo 2
Vamos extrair a inclinação (o “declive” ou “slope”) da reta dada
. Para isso, resolvemos para
em função de
:
Aqui, a forma
mostra que a inclinação da reta dada é
. Explicando rápido: a inclinação
significa que, ao mover 1 unidade para a direita em
, a reta sobe
unidades em
.
Passo 3
Agora precisamos da inclinação da reta perpendicular. Para duas retas não-verticais com inclinações
e
, elas são perpendiculares se, e somente se,
Intuição curta: inclinações são tangentes de ângulos; girar
transforma a tangente em seu negativo recíproco. Assim, com
, a inclinação da reta perpendicular é
Passo 4
Agora usamos a forma ponto-inclinação da equação de reta. A fórmula é:
onde
é um ponto conhecido da reta e
é a inclinação. Neste problema temos
e
. Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a equação anterior para formas mais usuais. Primeiro expandir o lado direito:
Agora isolamos
:
Como
, somamos as frações:
Essa é a forma reduzida (forma
) da reta procurada. Um jeito alternativo e frequentemente preferido é escrever em forma padrão com coeficientes inteiros: multiplicando ambos os lados por
,
e rearranjando,
Passo 6
Conferência rápida (checagem): verificar que o ponto
satisfaz a equação
:
ok. Verificar que as inclinações se anulam no produto:
, logo as retas são de fato perpendiculares.
Passo 7
Instruções para esboçar (rápido e prático para a prova):
- Desenhe dois eixos
e . - Trace a reta
: seu coeficiente linear é (corta o eixo em ) e sobe 3 para cada 1 que anda para a direita. - Marque o ponto
. - A reta procurada tem inclinação
e intercepto (corta o eixo em ). Passe uma reta por com esse declive; ela ficará visivelmente perpendicular à primeira reta.