Em cada item, são dados os pontos médios dos lados do triângulo A B C. Determine as coordenadas dos vértices.
M=(1,1), N=(0,3), P=(-2,2)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (pegar estes dados do enunciado):
  • Pontos médios fornecidos:
    • M=(1,1),
    • N=(0,3),
    • P=(-2,2).
  • Informação implícita (convenção usual): M é o ponto médio de BC, N é o ponto médio de CA e P é o ponto médio de AB.
  • Pergunta: determinar as coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo.

Passo 2

Definições e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Se dois pontos têm coordenadas (x_1,y_1) e (x_2,y_2), o ponto médio entre eles tem coordenadas
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).
  • Vou chamar as coordenadas dos vértices de
A=(a_1,a_2),\qquad B=(b_1,b_2),\qquad C=(c_1,c_2).
  • Aplicando a fórmula do ponto médio a cada dado:
    • Como M é o meio de BC,
    \left(\frac{b_1+c_1}{2},\frac{b_2+c_2}{2}\right) = (1,1).
    • Como N é o meio de CA,
    \left(\frac{c_1+a_1}{2},\frac{c_2+a_2}{2}\right) = (0,3).
    • Como P é o meio de AB,
    \left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2}\right) = (-2,2).

Passo 3

Escrevendo explicitamente as equações (separando coordenadas x\) e \(y\)): - Coordenadas \(x\): \[\begin{cases} \dfrac{b_1+c_1}{2}=1\\[6pt] \dfrac{c_1+a_1}{2}=0\\[6pt] \dfrac{a_1+b_1}{2}=-2 \end{cases}
Ou equivalentemente
\begin{cases} b_1+c_1=2\\[4pt] c_1+a_1=0\\[4pt] a_1+b_1=-4 \end{cases}
  • Coordenadas (y]:
    \begin{cases} \dfrac{b_2+c_2}{2}=1\\[6pt] \dfrac{c_2+a_2}{2}=3\\[6pt] \dfrac{a_2+b_2}{2}=2 \end{cases}
    Ou equivalentemente
    \begin{cases} b_2+c_2=2\\[4pt] c_2+a_2=6\\[4pt] a_2+b_2=4 \end{cases}]

Passo 4

Resolver as equações das coordenadas x passo a passo:
  • Das três equações em x temos
b_1+c_1=2,\qquad c_1+a_1=0,\qquad a_1+b_1=-4.
  • Da segunda equação vem
a_1 = -c_1.
  • Da primeira vem
b_1 = 2 - c_1.
  • Substituindo a_1 e b_1 na terceira:
a_1+b_1 = (-c_1)+(2-c_1) = 2 - 2c_1 = -4.
  • Isolando c_1:
2 - 2c_1 = -4 \quad\Rightarrow\quad -2c_1 = -6 \quad\Rightarrow\quad c_1 = 3.
  • Então
a_1 = -c_1 = -3,\qquad b_1 = 2 - c_1 = -1.

Passo 5

Resolver as equações das coordenadas y passo a passo:
  • Das três equações em y temos
b_2+c_2=2,\qquad c_2+a_2=6,\qquad a_2+b_2=4.
  • Da segunda equação vem
a_2 = 6 - c_2.
  • Da primeira vem
b_2 = 2 - c_2.
  • Substituindo em a_2+b_2=4:
(6 - c_2) + (2 - c_2) = 4 \quad\Rightarrow\quad 8 - 2c_2 = 4.
  • Isolando c_2:
8 - 2c_2 = 4 \quad\Rightarrow\quad -2c_2 = -4 \quad\Rightarrow\quad c_2 = 2.
  • Então
a_2 = 6 - 2 = 4,\qquad b_2 = 2 - 2 = 0.

Passo 6

Reunindo resultados e fazendo uma checagem rápida:
  • Encontramos
A=(a_1,a_2)=(-3,4),\quad B=(b_1,b_2)=(-1,0),\quad C=(c_1,c_2)=(3,2).
  • Verificação dos pontos médios:
    • Meio de B e C: \big(\tfrac{-1+3}{2},\tfrac{0+2}{2}\big)=(1,1)=M.
    • Meio de C e A: \big(\tfrac{3+(-3)}{2},\tfrac{2+4}{2}\big)=(0,3)=N.
    • Meio de A e B: \big(\tfrac{-3+(-1)}{2},\tfrac{4+0}{2}\big)=(-2,2)=P.
  • Tudo confere com os pontos médios dados.

Resposta

A=(-3,4)
B=(-1,0)
C=(3,2)

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