Em cada caso, esboce o gráfico de uma função com todas as propriedades do enunciado.
(b) f(2)=4, f^prime(x)>0 para x<2, f^prime(x)<0 para x>2, f^prime prime(x)>0 para x neq 2, lim x 2|f^prime(x)|=infty, lim x +infty f(x)=2, lim x -infty f(x)=2.

Passo 1

O enunciado pede o esboço de uma função f tal que:
  • f(2)=4.
  • f'(x)>0 para x<2 e f'(x)<0 para x>2, ou seja, f cresce até x=2 e decresce depois, tendo em x=2 um extremo.
  • limxto2lvert f'(x)rvert = infty, indicando que a reta tangente em x=2 é vertical (slope infinito).
  • f''(x)>0 para todo xneq2, ou seja, f é convexa (concavidade para cima) em cada lado de x=2.
  • Há assíntotas horizontais em y=2, pois limxtopminftyf(x)=2.
Conteúdo usado: monotonicidade e extremos a partir do sinal de f', comportamento de tangente vertical a partir de f'topminfty, convexidade de f via f''>0 e assíntotas horizontais.

Passo 2

Monotonicidade e extremo: como
f'(x)>0 para x<2 e f'(x)<0 para x>2,
concluímos que f é crescente até x=2 e depois decrescente, logo x=2 é um ponto de máximo (global).

Passo 3

Comportamento da derivada em x=2:
limxto2^-f'(x)=+infty e limxto2^+f'(x)=-infty,
portanto a reta tangente em x=2 é vertical, criando um “bico” ou cuspide no vértice (2,4).

Passo 4

Convexidade: como f''(x)>0 para xneq2, cada ramo (à esquerda e à direita de x=2) é convexo para cima. Isso significa que, afastando-se de x=2, a inclinação de f cresce (de positivo para +infty à esquerda, e de -infty para valores negativos à direita).

Passo 5

Assíntotas horizontais:
limxto+inftyf(x)=2 e limxto-inftyf(x)=2,
logo, conforme x vai a +infty ou -infty, o gráfico de f aproxima-se da linha y=2.

Passo 6

Juntando tudo no esboço:
  • Para xll2, f(x) está um pouco acima de y=2, cresce convexamente com inclinação positiva cada vez maior até aproximar-se de vertical.
  • Em x=2 atinge o ponto (2,4) com tangente vertical.
  • Para x>2, decresce convexamente, partindo com declive muito negativo (vertical descendente) e depois se achatando, aproximando-se horizontalmente de y=2 conforme xto+infty.

Resposta

O gráfico de f consiste em dois ramos convexos que se unem num “bico” vertical em (2,4), com assíntota horizontal y=2 em ambas as extremidades.

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