Em cada caso, esboce o gráfico de uma função com todas as propriedades do enunciado.
(b)
para
para
,
para
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede o esboço de uma função
tal que:
-
. -
para e para , ou seja, cresce até e decresce depois, tendo em um extremo. -
, indicando que a reta tangente em é vertical (slope infinito). -
para todo , ou seja, é convexa (concavidade para cima) em cada lado de . - Há assíntotas horizontais em
, pois .
Conteúdo usado: monotonicidade e extremos a partir do sinal de
, comportamento de tangente vertical a partir de
, convexidade de
via
e assíntotas horizontais.
Passo 2
Monotonicidade e extremo: como
concluímos que
é crescente até
e depois decrescente, logo
é um ponto de máximo (global).
Passo 3
Comportamento da derivada em
:
portanto a reta tangente em
é vertical, criando um “bico” ou cuspide no vértice
.
Passo 4
Convexidade: como
para
, cada ramo (à esquerda e à direita de
) é convexo para cima. Isso significa que, afastando-se de
, a inclinação de
cresce (de positivo para
à esquerda, e de
para valores negativos à direita).
Passo 5
Assíntotas horizontais:
logo, conforme
vai a
ou
, o gráfico de
aproxima-se da linha
.
Passo 6
Juntando tudo no esboço:
- Para
, está um pouco acima de , cresce convexamente com inclinação positiva cada vez maior até aproximar-se de vertical. - Em
atinge o ponto com tangente vertical. - Para
, decresce convexamente, partindo com declive muito negativo (vertical descendente) e depois se achatando, aproximando-se horizontalmente de conforme .
Resposta
O gráfico de
consiste em dois ramos convexos que se unem num “bico” vertical em
, com assíntota horizontal
em ambas as extremidades.