Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando coordenadas cilíndricas (que aqui coincidem com coordenadas polares para
). A ideia é descrever o domínio no plano
e depois incorporar
.
Passo 2
No plano
, a condição
é a circunferência
. Em coordenadas polares
,
isso vira
com
. Além disso
varia de
até
.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas:
e o integral fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
O integral reduz a
Passo 5
Agora em
:
Logo o integral vale
Passo 6
Usamos a fórmula para
par:
Para
dá
Como
é par,
Resposta
Substituindo,