Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais:
integral0^2 integral-raiz2 x-x^2^raiz2 x-x^2 integral0^x^2+y^2(x^2+y^2) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^2!integral-raiz2x - x^2^raiz2x - x^2!integral0^x^2+y^2(x^2+y^2),dz,dy,dx
usando coordenadas cilíndricas (que aqui coincidem com coordenadas polares para x,y). A ideia é descrever o domínio no plano xy e depois incorporar z.

Passo 2

No plano xy, a condição
-raiz2x - x^2<= y<= raiz2x - x^2, 0<= x<= 2
é a circunferência (x-1)^2+y^2=1. Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta isso vira
(rcostheta -1)^2+r^2sin^2theta<=1 ;Longrightarrow; r<= 2costheta
com -tfracpi2<=theta<=tfracpi2. Além disso z varia de 0 até x^2+y^2=r^2.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas:
x^2+y^2=r^2, dV=dz,r,dr,dtheta,
e o integral fica
integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^2costheta integralz=0^r^2 l(r^2r),dz;l(r,dr,dthetar) =integral-pi2^pi2 integral0^2costhetar^3,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^r^2r^3,dz =r^3,l[zr]0^r^2 =r^3cdot r^2 =r^5
O integral reduz a
integral-pi2^pi2 integral0^2costhetar^5,dr,dtheta

Passo 5

Agora em r:
integral0^2costhetar^5,dr =(2costheta)^66 =64cos^6theta6 =323,cos^6theta
Logo o integral vale
323, integral-pi2^pi2 cos^6theta,dtheta

Passo 6

Usamos a fórmula para n par:
integral0^pi2cos^ntheta,dtheta =pi2,n!2^n(tfracn2!)^2
Para n=6
integral0^pi2cos^6theta,dtheta =pi2,6!2^6(3!)^2 =pi2,72064cdot36 =5pi32
Como cos^6theta é par,
integral-pi2^pi2cos^6theta,dtheta =2cdot5pi32 =5pi16

Resposta

Substituindo,
323,cdot5pi16 =23,5pi =10pi3

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