Em cada caso, esboce o gráfico G(f) da função f: D subset R^2 longrightarrow R dada.
z=f(x, y)=(y-x)^2, D=R^2.

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da superfície
z=f(x,y)=(y-x)^2
com domínio D=R^2. Vamos entender essa superfície usando curvas de nível e seções transversais.

Passo 2

As curvas de nível são obtidas fixando z=c>=0. Temos
(y-x)^2=c
ou seja
y - x = pmraizc
Logo, para cada c>=0 as curvas de nível são retas paralelas à reta y=x no plano xy.

Passo 3

Para ver o perfil, fazemos a mudança de variáveis
u = y - x, v = x
Nessas coordenadas a função vira
z = u^2,
independente de v. Isso mostra que, ao longo de qualquer direção paralela ao eixo v (isto é, à reta y=x), z não varia.

Passo 4

Como z=u^2 é uma parábola em u e independe de v, a superfície é um cilindro parabólico: uma “vala” parabólica (abertura para cima) que se estende indefinidamente paralelo à reta y=x.

Resposta

O gráfico de f é um cilindro parabólico de equação
z=(y-x)^2,
com eixo paralelo à reta y=x no plano xy e perfil dado pela parábola z=u^2 num plano perpendicular a y=x.

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