Calcule f^prime(p) :
f(x)=ln (x)x,

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=ln(x)x em um ponto genérico p. O conteúdo aqui é o uso da regra do quociente para derivadas, ou seja, se u(x)=ln(x) e v(x)=x, então
f(x)=u(x)v(x)
e
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 2

Identificamos
u(x)=ln(x)Longrightarrow u'(x)=1x,
v(x)=xLongrightarrow v'(x)=1
Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = 1xcdot x ;-;ln(x)cdot 1x^2

Passo 3

No numerador temos 1xcdot x = 1, então
f'(x) = 1 - ln(x)x^2

Passo 4

Para obter f'(p), basta trocar x por p:
f'(p) = 1 - ln(p)p^2

Resposta

f'(p)=1-ln(p)p^2

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