Calcule f^prime(p) :
f(x)=x+sen(x)x-cos (x),

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = x + sen(x),x - cos(x),
avaliada em x = p.
O conteúdo aqui é a Regra do Quociente, que diz que se f(x)=u(x)v(x) então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2,
Vamos identificar u(x) e v(x), calcular u' e v', aplicar a fórmula e simplificar.

Passo 2

Definimos
u(x)=x+sen(x), v(x)=x-cos(x)
Derivando cada um:
u'(x)=1+cos(x), v'(x)=1+sen(x)

Passo 3

Pela Regra do Quociente,
f'(x) =l(1+cos xr),(x-cos x)-l(x+sen xr),(1+sen x) l(x-cos xr)^2
Agora substituímos x=p:
f'(p) =l(1+cos pr),(p-cos p)-l(p+sen pr),(1+sen p) l(p-cos pr)^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador. Chamemos
A=(1+cos p)(p-cos p), B=(p+sen p)(1+sen p)
Expandindo:
A = p + pcos p -cos p -cos^2 p, B = p + psen p +sen p +sen^2 p
Logo o numerador N=A-B fica
N = l(p + pcos p -cos p -cos^2 pr) -l(p + psen p +sen p +sen^2 pr)
= pcos p - psen p -cos p -sen p -l(cos^2 p+sen^2 pr)
Como cos^2p+sen^2p=1, temos
N = pl(cos p - sen pr) -l(cos p + sen p + 1r)

Passo 5

Assim a forma final de f'(p) é
f'(p) =pl(cos p - sen pr) -l(1 + cos p + sen pr) l(p - cos pr)^2

Resposta

f'(p) =pl(cos p - sen pr) -l(1 + cos p + sen pr) l(p - cos pr)^2

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