Em cada caso, esboce o gráfico G(f) da função f: D subset R^2 longrightarrow R dada.
z=f(x, y)=4-x^2-y^2, D=R^2.

Passo 1

O enunciado pede o esboço de G(f), o gráfico da função
z = f(x,y) = 4 - x^2 - y^2
com domínio D = R^2.
Aqui o conteúdo é o estudo de superfícies em R^3, mais especificamente o reconhecimento de um paraboloide elíptico.

Passo 2

Para entender a forma da superfície, analisamos as curvas de nível, definidas por
f(x,y)=k
Substituindo f(x,y) obtemos
4 - x^2 - y^2 = k
ou seja
x^2 + y^2 = 4 - k
Isso mostra que, para cada valor de k<=4, a interseção com o plano z=k é um círculo de raio raiz4-k centrado em (0,0,k).

Passo 3

Agora examinamos seções verticais para ver o “perfil” da superfície.
Ao pegar o plano y=0, temos
z = 4 - x^2,
que é uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,0,4).
De modo análogo, no plano x=0,
z = 4 - y^2
é outra parábola para baixo com vértice em (0,0,4).

Passo 4

Dos dois itens anteriores concluímos que a superfície tem ponto mais alto (vértice) em
(0,0,4),
e decresce quadráticamente em todas as direções do plano xy.
Quando z=0, temos
x^2 + y^2 = 4,
isto é, um círculo de raio 2 no plano z=0.

Passo 5

Juntando tudo vemos que G(f) é um paraboloide circular (caso especial de elíptico) invertido, com vértice em (0,0,4) e “boca” aberta para baixo. As curvas de nível são círculos concêntricos de raios raiz4-k.

Resposta

O gráfico de z=4-x^2-y^2 é um paraboloide circular voltado para baixo, com vértice em (0,0,4) e curvas de nível circulares centradas em (0,0).

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