Em cada caso, esboce o gráfico
da função
dada.
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço de
, o gráfico da função
com domínio
.
Aqui o conteúdo é o estudo de superfícies em , mais especificamente o reconhecimento de um paraboloide elíptico.
Aqui o conteúdo é o estudo de superfícies em
Passo 2
Para entender a forma da superfície, analisamos as curvas de nível, definidas por
Substituindo
obtemos
ou seja
Isso mostra que, para cada valor de
, a interseção com o plano
é um círculo de raio
centrado em
.
Passo 3
Agora examinamos seções verticais para ver o “perfil” da superfície.
Ao pegar o plano , temos
Ao pegar o plano
que é uma parábola voltada para baixo com vértice em
.
De modo análogo, no plano ,
De modo análogo, no plano
é outra parábola para baixo com vértice em
.
Passo 4
Dos dois itens anteriores concluímos que a superfície tem ponto mais alto (vértice) em
e decresce quadráticamente em todas as direções do plano
.
Quando , temos
Quando
isto é, um círculo de raio
no plano
.
Passo 5
Juntando tudo vemos que
é um paraboloide circular (caso especial de elíptico) invertido, com vértice em
e “boca” aberta para baixo. As curvas de nível são círculos concêntricos de raios
.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide circular voltado para baixo, com vértice em
e curvas de nível circulares centradas em
.