Exercício 13. (Apostol, capítulo 5.20, exercício 7) Seja um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Sejam e duas bases ortonormais de . Mostre que existe um operador unitário que leva uma base na outra.
Passo 1
O enunciado diz que é um espaço vetorial de dimensão finita com um produto interno , e temos duas bases ortonormais e .
Queremos construir um operador unitário tal que
Lembrando que um operador é unitário se for linear, bijetivo e preservar o produto interno.
Passo 2
Definimos primeiro nos vetores da base por
e estendemos linearmente a todo vetor . Ou seja, se
então por linearidade
Passo 3
Precisamos verificar que preserva o produto interno. Tomemos
Como e são ortonormais, temos
Logo
lang<= T(v),T(w)rang<= = lang<= v,wrang<=
em toda parte de V. Isso mostra que T é isométrico.
Passo 4
Como T envia uma base em outra, sua imagem de ei é a base ui. Isso implica que T é bijetivo. Juntando com a preservação do produto interno, concluímos que T é unitário por definição.
Resposta
Uma descrição explícita é
Tl(sumi=1^nxieir) =sumi=1^nxiui
Esse operador é linear, bijetivo e satisfaz lang<= T(v),T(w)rang<==lang<= v,wrang<=, logo é unitário e leva ei em ui.