Exercício 13. (Apostol, capítulo 5.20, exercício 7) Seja V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Sejam (e1, ldots, en) e (u1, ldots, un) duas bases ortonormais de V. Mostre que existe um operador unitário que leva uma base na outra.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão finita com um produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, e temos duas bases ortonormais
l(e1,dots,enr) e l(u1,dots,unr).
Queremos construir um operador unitário T:Vto V tal que
T(ei)=uipara i=1,dots,n
Lembrando que um operador é unitário se for linear, bijetivo e preservar o produto interno.

Passo 2

Definimos T primeiro nos vetores da base ei por
T(ei) = ui, i=1,dots,n,
e estendemos T linearmente a todo vetor vin V. Ou seja, se
v = sumi=1^n xi,ei,
então por linearidade
T(v) = sumi=1^n xi,T(ei) = sumi=1^n xi,ui

Passo 3

Precisamos verificar que T preserva o produto interno. Tomemos
v=sumi=1^nxiei, w=sumi=1^nyiei
Como ei e ui são ortonormais, temos
lang<= v,wrang<= =sumi=1^nxi,yi, lang<= T(v),T(w)rang<= =llang<=sumixiui,,sumjyjujrrang<= =sumi=1^nxi,yi
Logo
lang<= T(v),T(w)rang<= = lang<= v,wrang<=
em toda parte de V. Isso mostra que T é isométrico.

Passo 4

Como T envia uma base em outra, sua imagem de ei é a base ui. Isso implica que T é bijetivo. Juntando com a preservação do produto interno, concluímos que T é unitário por definição.

Resposta

Uma descrição explícita é
Tl(sumi=1^nxieir) =sumi=1^nxiui
Esse operador é linear, bijetivo e satisfaz lang<= T(v),T(w)rang<==lang<= v,wrang<=, logo é unitário e leva ei em ui.

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